Question

【題目】（問題情境）如圖，中，，，我們可以利用與相似證明，這個結論我們稱之為射影定理，試證明這個定理；

（結論運用）如圖，正方形的邊長為，點是對角線、的交點，點在上，過點作，垂足為，連接，

（1）試利用射影定理證明；

（2）若，求的長．

Answer 1

【答案】【問題情境】證明見解析；【結論運用】證明見解析；（2）．

【解析】

通過證明Rt△ACD∽Rt△ABC得到AC：AB=AD：AC，然后利用比例性質即可得到AC2=ADAB；

【結論運用】

（1）根據射影定理得BC2=BOBD，BC2=BFBE，則BOBD=BFBE，即=，加上∠OBF=∠EBD，于是可根據相似三角形的判定得到△BOF∽△BED；

（2）先計算出DE=4，CE=2，BE=2，OB=3，再利用（1）中結論△BOF∽△BED得到=，即=，然后利用比例性質求OF．

如圖1．

∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，而∠CAD=∠BAC，∴Rt△ACD∽Rt△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=ADAB；

（1）如圖2．

∵四邊形ABCD為正方形，∴OC⊥BO，∠BCD=90°，∴BC2=BOBD．

∵CF⊥BE，∴BC2=BFBE，∴BOBD=BFBE，即=，而∠OBF=∠EBD，∴△BOF∽△BED；

（2）∵BC=CD=6，而DE=CE，∴DE=4，CE=2．

在Rt△BCE中，BE==2．在Rt△OBC中，OB=BC=3．

∵△BOF∽△BED，∴=，即=，∴OF=．