Question

【題目】如圖，在△ABC中，BA＝BC，以AB為直徑作⊙O，交AC于點D，連接DB，過點D作DE⊥BC，垂足為E．

（1）求證：AD＝CD．

（2）求證：DE為⊙O的切線．

（3）若∠C＝60°，DE＝，求⊙O半徑的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）⊙O半徑的長為4．

【解析】

（1）先利用圓周角定理得到∠ADB=90°，再根據等腰三角形的性質得AD=CD；

（2）連接OD，如圖，先證明OD為△BAC的中位線，則OD∥BC，再利用DE⊥BC得到OD⊥DE，然后根據切線的判定定理得到結論；

（3）先在Rt△CDE中計算出CE=DE=2，CD=2CE=4，再利用∠A=∠C=60°，AD=CD=4，然后在Rt△ADB中利用AB=2AD求解．

（1）證明：∵AB為直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵BA＝BC，

∴AD＝CD；

（2）證明：連接OD，如圖，

∵AD＝CD，AO＝OB，

∴OD為△BAC的中位線，

∴OD∥BC，

∴DE⊥BC，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線；

（3）在Rt△CDE中，∠C＝60°，DE＝，

∴CE＝DE＝×2＝2，

∴CD＝2CE＝4，

∵∠A＝∠C＝60°，AD＝CD＝4，

在Rt△ADB中，AB＝2AD＝8，

即⊙O半徑的長為4．