Question

【題目】如圖，已知點E在△ABC的邊AB上，∠C＝90°，∠BAC的平分線交BC于點D，且D在以A為直徑的⊙O上．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若DC＝4，AC＝6，求圓心O到AD的距離．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）圓心O到AD的距離是．

【解析】

（1）連接OD，求出∠CAD=∠OAD=∠ODA，得出OD∥AC，推出OD⊥BC，根據切線判定推出即可；

（2）根據含30度角的直角三角形性質求出BO，AC，根據勾股定理求出BD、BC，求出CD，根據勾股定理求出AD即可．

（1）證明：連接OD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD＝∠CAD，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC，

又∵∠C＝90°，

∴∠ODB＝∠C＝90°，

∴OD⊥BC，

∴BC是⊙O的切線．

（2）過O作OF⊥AD于F，

由勾股定理得：AD＝，

∴DF＝AD＝，

∵∠OFD＝∠C＝90°，∠ODA＝∠CAD，

∴△ACD∽△DFO，

∴，

∴，

∴FO＝，

即圓心O到AD的距離是．