Question

【題目】如圖，在中，，為線段的延長線上一點，且，于點，取的中點，連接.

（1）求證：；

（2）若，求證：；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理證明∠D=∠BAC,然后根據直角三角形兩銳角互余即可證明；

（2））如圖，延長AF至M點，使AF=MF，連接BM，首先證明△AEF≌△MBF，可得AE=MB,再證明△ABM≌△ACD，可得MB=CD,由此即可證明．

（1）證明：∵

∴∠ABC=∠ACB,∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2∠ABC，

∵

∴∠ABC=∠BAD，∠D=180°-∠ABC-∠BAD=180°-2∠ABC，

∴∠BAC=∠D，

∵，

∴

∴；

（2）證明：如圖，延長AF至M點，使AF=MF，連接BM，

在△AEF和△MBF中

∵

∴△AEF≌△MBF(SAS)，

∴AE=BM，∠DAF=∠FMB，

∵∠BAC=∠D，

∴∠1=∠2，∠FMB=∠D，

在△ABM和△ACD中

∵

∴△ABM≌△ACD(AAS)，

∴BM=CD,

∴AE=CD．