Question

【題目】拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（m，0），與y軸交于C．
（1）若m=﹣3，求拋物線的解析式，并寫出拋物線的對稱軸；
（2）如圖1，在（1）的條件下，設拋物線的對稱軸交x軸于D，在對稱軸左側的拋物線上有一點E，使S△ACE= S△ACD ， 求點E的坐標；

（3）如圖2，設F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在線段OG上是否存在點P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當m=﹣3時，B（﹣3，0），

把A（1，0），B（﹣3，0）代入到拋物線y=x2+bx+c中得：

，解得 ，

∴拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；

對稱軸是：直線x=﹣1

（2）

解：如圖1，

設E（m，m2+2m﹣3），

由題意得：AD=1+1=2，OC=3，

S△ACE= S△ACD= × ADOC= ×2×3=10，

設直線AE的解析式為：y=kx+b，

把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，

，

解得： ，

∴直線AE的解析式為：y=（m+3）x﹣m﹣3，

∴F（0，﹣m﹣3），

∵C（0，﹣3），

∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，

∴S△ACE= FC（1﹣m）=10，

﹣m（1﹣m）=20，

m2﹣m﹣20=0，

（m+4）（m﹣5）=0，

m1=﹣4，m2=5（舍），

∴E（﹣4，5）

（3）

解：如圖2，當B在原點的左側時，連接BF，以BF為直徑作圓E，當⊙E與y軸相切時，設切點為P，

∴∠BPF=90°，

∴∠FPG+∠OPB=90°，

∵∠OPB+∠OBP=90°，

∴∠OBP=∠FPG，

連接EP，則EP⊥OG，

∵BE=EF，

∴EP是梯形的中位線，

∴OP=PG=2，

∵FG=1，

tan∠FPG=tan∠OBP= ，

∴ = ，

∴m=﹣4，

∴當﹣4≤m＜0時，在線段OG上存在點P，使∠OBP=∠FPG；

如圖3，當B在原點的右側時，要想滿足∠OBP=∠FPG，

則∠OBP=∠OPB=∠FPG，

∴OB=OP，

∴△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形，

∴FG=PG=1，

∴OB=OP=3，

∴m=3，

綜上所述，當﹣4≤m＜0或m=3時，在線段OG上存在點P，使∠OBP=∠FPG．

【解析】（1）利用待定系數法求二次函數的解析式，并配方求對稱軸；（2）如圖1，設E（m，m2+2m﹣3），先根據已知條件求S△ACE=10，根據不規則三角形面積等于鉛直高度與水平寬度的積列式可求得m的值，并根據在對稱軸左側的拋物線上有一點E，則點E的橫坐標小于﹣1，對m的值進行取舍，得到E的坐標；（3）分兩種情況：①當B在原點的左側時，構建輔助圓，根據直徑所對的圓周角是直角，只要滿足∠BPF=90°就可以構成∠OBP=∠FPG，如圖2，求出圓E與y軸有一個交點時的m值，則可得取值范圍；②當B在原點的右側時，只有△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形時滿足條件，直接計算即可．