Question

【題目】如圖，一次函數的圖像與坐標軸交于A、B兩點，點C的坐標為，二次函數的圖像經過A、B、C三點．

（1）求二次函數的解析式

（2）如圖1，已知點在拋物線上，作射線BD，點Q為線段AB上一點，過點Q作軸于點M，作于點N，過Q作軸交拋物線于點P，當QM與QN的積最大時，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，連接AP，若點E為拋物線上一點，且滿足，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）求出A、B的坐標，設二次函數解析式為，把A（0，2）代入即可得出結論；

（2）先求出D的坐標和直線BD的解析式，過D作DT⊥x軸于T，可求得∠DBO=45°．設Q（m，m+2），則G（m，-m+4），MQ=m．設∠ABO=α，則∠NBQ=45°－α，∠MQB=180°－α．證明ΔGQN為等腰直角三角形，表示出NQ，MQNQ，利用二次函數的性質解答即可；

（3）如圖，過A作AH⊥PE于點H，解Rt△APH，得到AH=1，PH=2．設H（m，n），利用兩點間距離公式可求出H的坐標，進而求出點E的坐標．

（1）在中，令x=0，得y=2，∴A（0，2）；

令y=0，得，解得：x=4，∴B（4，0）．

設二次函數解析式為，

將A（0，2）代入得：

解得：，

∴．

（2）∵點D（1，n）在拋物線上，∴n==3，

∴D（1，3）．

設直線BD的解析式為y=kx+b，則，

解得：，

∴直線BD的解析式為：y=-x+4．

過D作DT⊥x軸于T，則OT=1，DT=3．

∵OB=4，∴BT=OB-OT=4-1=3，

∴DT=BT，

∴∠DBO=45°．

設Q（m，m+2），則G（m，-m+4），MQ=m．

設∠ABO=α，則∠NBQ=45°－α

∠MQB=180°－α．

又∵∠PQM=90°，∠NQB=90°－（45°－α）=45°+α，

∴∠GQN=360°－90°－（180°－α）－（45°+α）=45°，

∴ΔGQN為等腰直角三角形，

∴NQ=，

∴MQNQ=．

當m=2時，QMQN最大，此時P（2，3）．

（3）如圖，過A作AH⊥PE于點H，其中，∠APE=∠ABO．

又A（0，2），P（2，3），

，

∴，

∴PH=2AH．

∵AP=，，

∴，

∴AH=1，PH=2．

設H（m，n），

則，

，

解得：；，

∴，．

①易求直線PH的解析式為：

令

解得：（舍）

∴；

②易求直線PH1的解析式為：．

令，

解得：，

∴．

綜上所述：符合題意的E點坐標為或．