Question

【題目】綜合與探究：

已知二次函數y＝﹣x2+x+2的圖象與x軸交于A，B兩點（點B在點A的左側），與y軸交于點C．

（1）求點A，B，C的坐標；

（2）求證：△ABC為直角三角形；

（3）如圖，動點E，F同時從點A出發，其中點E以每秒2個單位長度的速度沿AB邊向終點B運動，點F以每秒個單位長度的速度沿射線AC方向運動．當點F停止運動時，點E隨之停止運動．設運動時間為t秒，連結EF，將△AEF沿EF翻折，使點A落在點D處，得到△DEF．當點F在AC上時，是否存在某一時刻t，使得△DCO≌△BCO？（點D不與點B重合）若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（0，2）；（2）證明見解析；（3）t＝.

【解析】

（1）利用x=0和y=0解方程即可求出A、B、C三點坐標；
（2）先計算△ABC的三邊長，根據勾股定理的逆定理可得結論；
（3）先證明△AEF∽△ACB，得∠AEF=∠ACB=90°，確定△AEF沿EF翻折后，點A落在x軸上點D處，根據△DCO≌△BCO時，BO=OD，列方程4-4t=1，可得結論．

（1）解：當y＝0時，﹣x+2＝0，

解得：x1＝1，x2＝4，

∴點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（﹣1，0），

當x＝0時，y＝2，

∴點C的坐標為（0，2）；

（2）證明：∵A（4，0），B（﹣1，0），C（0，2），

∴OA＝4，OB＝1，OC＝2．

∴AB＝5，AC＝＝，

∴AC2+BC2＝25＝AB2，

∴△ABC為直角三角形；

（3）解：由（2）可知△ABC為直角三角形．且∠ACB＝90°，

∵AE＝2t，AF＝t，

∴，

又∵∠EAF＝∠CAB，

∴△AEF∽△ACB，

∴∠AEF＝∠ACB＝90°，

∴△AEF沿EF翻折后，點A落在x軸上點 D處，

由翻折知，DE＝AE，

∴AD＝2AE＝4t，

當△DCO≌△BCO時，BO＝OD，

∵OD＝4﹣4t，BO＝1，

∴4﹣4t＝1，t＝，

即：當t＝秒時，△DCO≌△BCO．