Question

【題目】拋物線與軸交于A(4，0)，B(6，0)兩點，與軸交于點C(0，3).

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P從點O出發，以每秒2個單位長度的速度向點B運動，同時點E也從點O出發，以每秒1個單位長度的速度向點C運動，設點P的運動時間為t秒（0<t<3）.

①過點E作x軸的平行線，與BC相交于點D（如圖所示），當t為何值時，△PDE的面積最大，并求出這個最大值；

②當t =2時，拋物線的對稱軸上是否存在點F，使△EFP為直角三角形？若存在，請你求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為： ；（2）①；②存在點F，使為直角三角形；F的坐標為（5，12）或（5，2）

【解析】試題分析：（1）根據待定系數法即可求得解析式；

（2）①依題意知：點E的坐標為E（0，t），易得直線BC的解析式為yBC=-x+3，易得

點D的坐標為（， ），從而可得=（），利用二次函數的性質即可得面積的最大值；

②存在點F，使為直角三角形，分情況進行討論即可得.

試題解析：（1）拋物線與軸交于A(4，0)，B(6，0)兩點，與軸交于點C(0，3)，則有

，解得： ，

所以拋物線的解析式為： ；

（2）①依題意知：點E的坐標為E（0，t），

又由點，C（0，3）易知：直線BC的解析式為yBC=-x+3，

∵過點E的直線與軸平行交直線BC于點D，

∴點D的縱坐標為t，

∴當-x+3=t時， ，

∴點D的坐標為（， ），

∵，

∴，

∴，

∴S△PDE=（），

，∴的面積有最大值，

∴當時，滿足，

∴的面積的最大值為；

②存在點F，使為直角三角形；

理由如下：

當時，則有：P（4，0） ， ；

又易知拋物線的對稱軸為：直線，

∵點F在直線上，

∴當為直角三角形時，直角頂點不可能在F處；

則應分兩種情況：

設F的坐標為（5，m）, ∵ ， ，

∴， ， ，

當直角頂點在E處時， ，此時可求出，

當直角頂點在P處時， ，此時可求出，

∴F的坐標為（5，12）或（5，2）.