Question

【題目】已知△ABC中，AB=AC，點D，E分別在直線AB，AC上，且∠DEC=∠DCE

（1）如圖1，點D在線段AB上∠A=90°，若等腰直角三角形的邊與斜邊之比為，求證：

（2）如圖2，若點D在線段AB的延長線上，∠A=60°，求證：EB=AD

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）過D點作BC的平行線交AC于點G，先證△DBE≌△CGD，再證△ADG是等腰直角三角形即可；

（2）過D點作BC的平行線交AC的延長線于點F，先證△ABC和△ADF是等邊三角形，再證△DBE≌△CGD即可.

證明：過D點作BC的平行線交AC于點G，

∵△ABC是等腰三角形，∠A=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠DBE=180°-45°=135°，

∵DG∥BC，

∴∠GDC=∠DCE，∠DGC=180°-45°=135°，

∴∠DBE=∠DGC，

∵∠DCE=∠DEC，

∴ED=CD，∠DEC=∠GDC，

在△DBE和△CGD中

∴△DBE≌△CGD（AAS），

∴BE=GD，

∵∠ADG=∠ABC=45°，∠A=90°，

∴△ADG是等腰直角三角形，

∴DG=AD，

∴BE=AD；

（2）證明：過D點作BC的平行線交AC的延長線于點F，

∵△ABC是等腰三角形，∠A=60°，

∴△ABC是等邊三角形．

∴∠ABC=60°，

∵DF∥BC，

∴∠ADF=∠ABC=60°，

∴△ADF是等邊三角形，

∴AD=DF，∠AFD=60°，

∵∠DBE=∠ABC=60°，

∴∠DBE=∠AFD，

∵∠FDC=∠DCE，∠DCE=∠DEC，

∴∠FDC=∠DEC，ED=CD，

在△DBE和△CFD中

∴△DBE≌△CGD（AAS）

∴BE=DF，

∴BE=AD．