Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=2，以BC為邊向外作正方形BCDE，動點M從A點出發，以每秒1個單位的速度沿著A—C—D的路線向D點勻速運動(M不與A、D重合)；過點M作直線l⊥AD，l與路線A—B—D相交于點N，設運動時間為t秒：

(1)當點M在AC上時，BN=_____.(用含t的代數式表示)

(2)過N作NF⊥ED，垂足為F，矩形MDFN與△ABD重疊部分的面積為S，求S的最大值

(3)當點M在CD上時(含點C)，是否存在點M，使△DEN為等腰三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1)；(2)當t=時，S取得最大值；(3)當t=4-或t=3或t=2時，△DEN是等腰三角形．

【解析】

（1）證明△ACB和△AMN是等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性質分別求出AB=, AN=,相減即可表示出BN,（2）分類討論①當0≤t<2時，重疊部分是直角梯形, 其中NG=4-2t，DM =4-t，MN=t,表示出陰影部分面積S=t(4-2t+4-t)=，②當2≤t≤4時，重疊部分是三角形,分別求出DM= 4-t, MN= 4-t，表示出陰影部分的面積S==，即可,（3）分三種情況①DN=DE，②DN=NE，③DE=NE，列出等式解方程即可,見詳解.

解：(1)∵∠ACB=90°，AC=CB=2，

∴△ACB是等腰直角三角形,△AMN是等腰直角三角形,

∴AB=,

∵AM=t,

∴AN=,

∴BN=AB-AN=

(2)①當0≤t<2時，如圖，

由題意知AM=MN=t，

則CM=NQ=AC-AM=2-t，

∴DM=CM+CD=4-t，

∵∠ABC=∠CBD=45°，∠NQB=∠GQB=90°，

∴NQ=BQ=QG=2-t，

則NG=4-2t，

∴S=t(4-2t+4-t)=，

當t=時，S取得最大值；

②當2≤t≤4時，如圖，

∵AM=t，AD=AC+CD=4，

∴DM=AD-AM=4-t，

∵∠DMN=90°，∠CDB=45°，

∴MN=DM=4-t，

∴S==，

∵2≤t≤4，

∴當t=2時，S取得最大值2；

綜上，當t=時，S取得最大值．

(3)如圖，

∵AM=t，AC=BC=CD=2，∠BDC=∠DBE=45°，

∴DM=MN= PE =AD-AM=4-t，

∴DN=DM=(4-t)，

∴PN=2-(4-t)=t-2，

則NE=

∵DE=2，

∴①若DN=DE，則(4-t)=2，解得t=4-，

②若DN=NE，則(4-t)= ，解得t=3；

③若DE=NE，則2= ，解得t=2或t=4(點N與點E重合，舍去)；

綜上，當t=4-或t=3或t=2時，△DEN是等腰三角形．