Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E．點P是劣弧上任一點（不與點A，D重合），CP交AB于點M，AP與CD的延長相交于點F．

（1）設∠CPF＝α，∠BDC＝β，求證：α＝β+90°；

（2）若OE＝BE，設tan∠AFC＝x，．①求∠APC的度數；

②求y關于x的函數表達式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①∠APC＝60°；②y＝x，（0＜x＜）．

【解析】

（1）CD⊥AB，則∠APC＋∠CDB＝90，即：180α+β＝90，即可求解；

（2）①證明△BOD為等邊三角形，則∠CDB＝30，即可求解；

②在△CBM中，CH＋HB＝BC得：，得：，即可求解．

（1）∵CD⊥AB，

∴∠APC＋∠CDB＝90，即：180﹣α+β＝90，

∴α＝β+90；

（2）如圖1，連接OD，

①OE＝BE，OB⊥CD，設圓的半徑為r，

∴∠BOD＝∠OBD＝∠ODB＝60，

即：△BOD為等邊三角形，

∴BC＝r，

∴∠CDB＝30，

∴∠APC＝90﹣30＝60；

②連接BC，過點M組MH⊥BC于點H，

則∠MCB＝∠FAB，∴∠CMH＝∠F，

在△CBM中，設BC＝r，∠CBA＝60，

∴MH＝BMsin∠CBA＝MB，

BH＝MB，CH＝MHtan∠CMH＝MHx，

CH+HB＝BC，即，

，而AM+BM＝2r，

即：，

∴1x＝1+y，

即：y＝x，（0＜x）．