Question

如圖，已知反比例函數y=

k

x

和一次函數y=2x-1，其中反比例函數的圖象經過點（2，

1

2

）．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）如圖，已知點A在第一象限，且同時在上述兩個函數的圖象上，求點A的坐標；
（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將已知點坐標代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（2）聯立反比例與一次函數解析式，即可求出A的坐標；
（3）存在，分三種情況考慮，以O為圓心OA長為半徑畫弧，與x軸交于點P₁，P₂；以A為圓心，AO長為半徑畫弧，與x軸交于P₃點；做出線段OA的垂直平分線，與x軸交于P₄點，分別求出坐標即可．

解答：解：（1）將（2，

1

2

）代入反比例解析式得：k=1，
故反比例解析式為y=

1

x

；

（2）聯立得：

y= 1 x y=2x-1

，
消去y得：2x-1=

1

x

，整理得：2x²-x-1=0，即（2x+1）（x-1）=0，
解得：x=-

1

2

（不合題意，舍去）或x=1，
將x=1代入y=2x-1得：y=1，
則A（1，1）；

（3）存在，分三種情況考慮，以O為圓心OA長為半徑畫弧，與x軸交于點P₁，P₂，
∵A（1，1），
∴OA=

2

，
∴OP₁=OP₂=

2

，
∴點P₁（-

2

，0），P₂（

2

，0）；
以A為圓心，AO長為半徑畫弧，與x軸交于P₃點，此時P₃（2，0）；
做出線段OA的垂直平分線，與x軸交于P₄點，此時P₄（1，0），
綜上，滿足題意的P點坐標為（-

2

，0）或（

2

，0）或（2，0）或（1，0）．

點評：此題考查了反比例綜合題，涉及的知識有：待定系數法求函數解析式，兩函數交點坐標求法，等腰三角形的性質，以及坐標與圖形性質，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．