Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側），與y軸交于點C（0，－3），對稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對稱軸交于點D．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）求直線BC的函數表達式；

（3）點E為y軸上一動點，CE的垂直平分線交CE于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限．

①當線段PQ=AB時，求tan∠CED的值；

②當以點C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數表達式為y=x2－2x－3．（2）直線BC的函數表達式為y=x－3．（3）①．①P1（1－，－2），P2（1－，）．

【解析】

已知C點的坐標，即知道OC的長，可在直角三角形BOC中根據∠BCO的正切值求出OB的長，即可得出B點的坐標．已知了△AOC和△BOC的面積比，由于兩三角形的高相等，因此面積比就是AO與OB的比．由此可求出OA的長，也就求出了A點的坐標，然后根據A、B、C三點的坐標即可用待定系數法求出拋物線的解析式．

（1）∵拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴＝1

∴b=-2

∵拋物線與y軸交于點C（0，-3），

∴c=-3，

∴拋物線的函數表達式為y=x2-2x-3；

（2）∵拋物線與x軸交于A、B兩點，

當y=0時，x2-2x-3=0．

∴x1=-1，x2=3．

∵A點在B點左側，

∴A（-1，0），B（3，0）

設過點B（3，0）、C（0，-3）的直線的函數表達式為y=kx+m，

則，

∴

∴直線BC的函數表達式為y=x-3；

（3）①∵AB=4，PQ=AB，

∴PQ=3

∵PQ⊥y軸

∴PQ∥x軸，

則由拋物線的對稱性可得PM=，

∵對稱軸是直線x=1，

∴P到y軸的距離是，

∴點P的橫坐標為，

∴P（，）

∴F（0，），

∴FC=3-OF=3-=

∵PQ垂直平分CE于點F，

∴CE=2FC=

∵點D在直線BC上，

∴當x=1時，y=-2，則D（1，-2），

過點D作DG⊥CE于點G，

∴DG=1，CG=1，

∴GE=CE-CG=-1=．

在Rt△EGD中，tan∠CED=．

②P1（1-，-2），P2（1-，-）．

設OE=a，則GE=2-a，

當CE為斜邊時，則DG2=CGGE，即1=（OC-OG）（2-a），

∴1=1×（2-a），

∴a=1，

∴CE=2，

∴OF=OE+EF=2

∴F、P的縱坐標為-2，

把y=-2，代入拋物線的函數表達式為y=x2-2x-3得：x=1+或1-

∵點P在第三象限．

∴P1（1-，-2），

當CD為斜邊時，DE⊥CE，

∴OE=2，CE=1，

∴OF=2.5，

∴P和F的縱坐標為：-，

把y=-，代入拋物線的函數表達式為y=x2-2x-3得：x=1-，或1+，

∵點P在第三象限．

∴P2（1-，-）．

綜上所述：滿足條件為P1（1-，-2），P2（1-，-）．