Question

【題目】如圖，已知為外心，為上一點，與的交點為，且．

①求證：；

②若，且的半徑為，為內心，求的長．

Answer 1

【答案】①證明見解析； ②

【解析】

①先求出，然后求出△BCE和△ACB相似，根據相似三角形對應角相等可得∠A=∠CBE，再根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等可得∠A=∠D，然后求出∠D=∠CBE，然后根據等角對等邊即可得證；

②連接OB、OC，根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍求出∠BOC=60°，然后判定△OBC是等邊三角形，再根據等腰三角形三線合一的性質以及三角形的內心的性質可得OC經過點I，設OC與BD相交于點F，然后求出CF，再根據I是三角形的內心，利用三角形的面積求出IF，然后求出CI，最后根據OI=OC﹣CI計算即可得解．

①∵BC2=ACCE，∴．

∵∠BCE=∠ECB，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE=∠A．

∵∠A=∠D，∴∠D=∠CBE，∴CD=CB；

②連接OB、OC．

∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．

∵OB=OC，∴△OBC是等邊三角形．

∵CD=CB，I是△BCD的內心，∴OC經過點I，設OC與BD相交于點F，則CF=BC×sin30°BC，BF=BCcos30°BC，所以，BD=2BF=2BCBC，設△BCD內切圓的半徑為r，則S△BCDBDCF（BD+CD+BC）r，即BCBC（BC+BC+BC）r，解得：rBCBC，即IFBC，所以，CI=CF﹣IFBCBC=（2）BC，OI=OC﹣CI=BC﹣（2）BC=（1）BC．

∵⊙O的半徑為3，∴BC=3，∴OI=（1）（3）=33﹣3．