Question

【題目】如圖①,在△ABC中,AB=AC,點D是BC的中點,點E在AD上.

（1）求證:BE=CE.
（2）如圖②,若BE的延長線交AC于點F,且BF⊥AC,垂足為F,AF=BF,原題設其他條件不變.求證:△AEF≌△BCF.

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=AC,D是BC的中點,∴∠BAE=∠CAE.
在△ABE和△ACE中, ∴△ABE≌△ACE(SAS).
∴BE=CE 。
（2）證明：∵AB=AC, 點D是BC的中點,
∴AD⊥BC.
∴∠EAF+∠C=90°.
∵BF⊥AC,
∴∠CBF+∠C=90°.
∴∠EAF=∠CBF.
在△AEF和△BCF中,
∴△AEF≌△BCF(ASA) 。
【解析】（1）根據等腰三角形的三線合一得出 ：∠BAE=∠CAE，然后利用SAS判斷出△ABE≌△ACE ， 根據全等三角形對應邊相等得出BE=CE ；
（2）根據等腰三角形的三線合一得出AD⊥BC，根據直角三角形兩銳角互余得出∠EAF+∠C=90° ， ∠CBF+∠C=90°，根據同角的余角相等得出∠EAF=∠CBF，然后根據ASA判斷出△AEF≌△BCF 。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解余角和補角的特征的相關知識，掌握互余、互補是指兩個角的數量關系，與兩個角的位置無關，以及對等腰三角形的性質的理解，了解等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．