Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，點P，Q分別從BC兩點同時出發，其中點P沿BC向終點C運動．速度為1cm/s；點Q沿CA、AB向終點B運動，速度為2cm/s，設它們運動的時間為x（s）．

（1）求x為何值時，PQ⊥AC；

（2）設△PQD的面積為y（cm2），當0＜x＜2時，求y與x的函數關系式；

（3）探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關系，請寫出相應位置關系的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x＝；（2）y；（3）當x＝或時，以PQ為直徑的圓與AC相切，當0≤x＜或＜x＜或＜x≤4時，以PQ為直徑的圓與AC相交．

【解析】

（1）若使PQ⊥AC，則當Q在AC上，根據路程＝速度×時間表示出CP和CQ的長，再根據含30度的直角三角形的性質列方程求解；

（2）過點Q作QN⊥BC于N，利用三角函數求出QN，然后表示出DP，再根據三角形面積公式進行求解；

（3）可分點Q在AC和AB上兩種情況討論：當Q在AC時，根據（1）即可解決問題；當Q在AB上時，設以PQ為直徑的圓與AC相切于點G，連接O′G，易證PQ＝2O′G＝QE＋PF＝，過點Q作QN⊥BC于N，在Rt△BNQ中，運用三角函數可得QN＝，BN＝4x，則有PN＝2x4，然后在Rt△QNP中，運用勾股定理即可解決問題．

解：（1）當Q在AB上時，顯然PQ不垂直于AC，

當Q在AC上時，由題意得，BP＝x，CQ＝2x，則PC＝4x，

∵AB＝BC＝CA＝4，

∴∠C＝60°，

若PQ⊥AC，則有∠QPC＝30°，

∴PC＝2CQ，即4x＝2×2x，

∴x＝，

即當x＝時，PQ⊥AC；

（2）如圖，當0＜x＜2時，P在BD上，Q在AC上，過點Q作QN⊥BC于N，

∵∠C＝60°，QC＝2x，

∴QN＝QC·sin60°＝，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD＝BC＝2，

∴DP＝2x，/span>

∴y＝PDQN＝；

（3）顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離，

①當點Q在AC上時，由（1）可知，當x＝時，以PQ為直徑的圓與AC相切；

②當點Q在AB時，如圖，

設以PQ為直徑的圓與AC相切于點G，圓心為O′，連接O′G，則有O′G⊥AC，

過點Q作QE⊥AC于E，過點P作PF⊥AC于F，則QE∥O′G∥PF，

∵QO′＝PO′，

∴EG＝FG，

∴O′G＝（QE＋PF），

∴PQ＝2O′G＝QE＋PF，

由題意可得，CP＝4x，AQ＝2x4，

∴QE＝AQsin60°＝，PF＝PCsin60°＝，

∴PQ＝，

過點Q作QN⊥BC于N，

在Rt△BNQ中，QN＝BQsin60°＝，BN＝BQcos60°＝（82x）＝4x，

∴PN＝x（4x）＝2x4，

在Rt△QNP中，根據勾股定理可得：，

整理可得：25x2160x＋256＝0，

解得：x1＝x2＝，

綜上所述，當x＝或時，以PQ為直徑的圓與AC相切，當0≤x＜或＜x＜或＜x≤4時，以PQ為直徑的圓與AC相交．