Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過B、C兩點，與x軸另一交點為A，頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上找一點E，使△EDC的周長最小，求符合條件的E點坐標；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點E（，0）；（3）PB2的值為16+8．

【解析】

(1)求出點B、C的坐標分別為(3，0)、(0，3)，將點B、C的坐標代入二次函數表達式，即可求解；

(2)如圖1，作點C關于x軸的對稱點C′，連接CD′交x軸于點E，則此時EC+ED為最小，△EDC的周長最小，即可求解；

(3)分點P在x軸上方、點P在x軸下方兩種情況，由勾股定理可求解．

(1)直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，

令x=0，則y=3，令y=0，則x=3，

∴點B、C的坐標分別為(3，0)、(0，3)，

將點B、C的坐標代入二次函數表達式得：

，解得：，

故函數的表達式為：y=﹣x2+2x+3；

(2)如圖1，作點C關于x軸的對稱點C′，連接CD′交x軸于點E，此時EC+ED為最小，則△EDC的周長最小，

令x=0，則﹣x2+2x+3=0，

解得：，

∴點A的坐標為(-1，0)，

∵y=﹣x2+2x+3，

∴拋物線的頂點D的坐標為(1，4)，則點C′的坐標為(0，﹣3)，

設直線C′D的表達式為，

將C′、D的坐標代入得，

解得：，

∴直線C′D的表達式為：y=7x﹣3，

當y=0時，x=，

故點E的坐標為(，0)；

(3)①當點P在x軸上方時，如圖2，

∵點B、C的坐標分別為(3，0)、(0，3)，

∴OB=OC=3，則∠OCB=45°=∠APB，

過點B作BH⊥AP于點H，設PH=BH=a，

則PB=PA=a，

由勾股定理得：AB2=AH2+BH2，

∴16=a2+(a﹣a)2，解得：a2=8+4，

則PB2=2a2=16+8；

②當點P在x軸下方時，

同理可得．

綜合以上可得，PB2的值為16+8．