Question

【題目】已知四邊形ABCD是矩形

(1) 如圖1，對角線AC、BD相交于點O，且DE∥AC，CE∥BD，求證：四邊形OCED是菱形

(2) 如圖2，對角線AC、BD相交于點O，∠BAD的平分線交BC于點F，且∠CAF＝15°，求AF∶FC的值

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先證明四邊形OCED是平行四邊形，再證明四邊形OCED的一組鄰邊相等即可；

（2）由題意可求得∠BAC=60°，從而∠ACB=30°，設AB=a，易求得BF=a，，AC=2a，，所以，再代入計算即可.

解：（1）證明：如圖1，∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四邊形OCED是平行四邊形.

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，DO=BD，CO=AC.

∴ DO=CO.

∴平行四邊形OCED是菱形.

（2）如圖2，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，

∵AF是∠BAD的平分線，∴∠BAF=∠BAD=45°，

∴∠AFB=45°，∴BA=BF.

∵∠CAF＝15°，∴∠BAC=60°，∴∠ACB=30°.

設AB=a，

則在Rt△ABF中，BF=a，，

在Rt△ABC中，AC=2a，，

∴，

∴AF∶FC=.