Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD與正方形CEFG，點E在CD上，點G在BC的延長線上，M是AF的中點，連接DM，EM．

（1）填空：DM與EM數量關系和位置關系為　 　（直接填寫）；

（2）若AB＝4，設CE＝x（0＜x＜4），△MEF面積為y，求y關于x的函數關系式[可利用（1）的結論]，并求出y的最大值；

（3）如果將正方形CEFG繞點C順時針旋轉任意角度，我們發現DM與EM數量關系與位置關系仍未發生改變．

①若正方形ABCD邊長AB＝13，正方形CEFG邊長CE＝5，當D，E，F三點旋轉至同一條直線上時，求出MF的長；

②證明結論：正方形CEFG繞點C順時針旋轉任意角度，DM與EM數量關系與位置關系仍未發生改變．

Answer 1

【答案】（1）DM＝ME，DM⊥EM；（2）y＝（x﹣2）2+1，最大值1；（3）①或 ，②見解析

【解析】

（1）證明△MHA≌△MEF得出MH＝ME，AH＝EF＝EC，得出DH＝DE，由等腰直角三角形的性質即可得出結論；

（2）由全等三角形的性質和三角形面積公式得出y關于x的函數關系式，再由二次函數的性質即可得出結果；

（3）①分兩種情況，由全等三角形的性質和勾股定理解答即可；

②證明△ADH≌△CDE得出DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，得出∠HDE＝90°，即可得出結論．

（1）解：結論：DM＝ME，DM⊥EM．

理由：如圖1中，延長EM交AD于H．

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形EFGC是正方形，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH＝∠MFE，

在△MHA和△MEF中，

∴△MHA≌△MEF（ASA），

∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，

∴DH＝DE，

∵∠EDH＝90°，

∴DM＝ME，DM⊥EM；

故答案為：DM＝ME，DM⊥EM；

（2）解：作MP⊥DH于P，如圖2所示：

∵∠EDH＝90°，DM⊥EM，DM＝ME，

∴MP＝DH＝（4﹣x），

由（1）得：△MHA≌△MEF，

∴△MHA的面積＝△MEF的面積，

∴y＝AH×MP＝x×（4﹣x）＝（x2﹣4x）＝（x﹣2）2+1，

即y關于x的函數關系式為y＝x2﹣x，

∵y＝x2﹣x＝（x﹣2）2+1，

∴當x＝2時，y有最大值為1；

（3）①解：當D、E、F三點在正方形ABCD外同一條直線上時，如圖3所示：

連接DE，延長EM到H，使得MH＝ME，連接AH，作MR⊥DE于R，

在△AMH和△FME中，，

△AMH≌△FME（SAS），

∴AH＝EF＝EC，∠MAH＝∠MFE，

∴AH∥DF，

∴∠DAH+∠ADE＝180°，

∴∠DAH+∠CDE＝90°，

∵∠DCE+∠EDC＝90°

∴∠DAH＝∠DCE，

在△DAH和△DCE中，，

∴△DAH≌△DCE（SAS），

∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，

∴∠HDE＝∠ADC＝90°，

∵ME＝MH，

∴DM⊥EH，DM＝MH＝EM，

∵正方形ABCD邊長AB＝CD＝13，正方形CEFG邊長CE＝5，

∴在Rt△CDE中，DE＝＝＝12，

∵DM＝ME，DM⊥ME，

∴MR⊥DE，MR＝DE＝6，DR＝RE＝6，

∴FR＝RE+EF＝11，

在Rt△FMR中，FM＝＝＝；

當D、E、F三點在正方形ABCD內同一條直線上時，如圖4中，作MR⊥DE于R，

在Rt△MRF中，FM＝＝＝，

綜上所述，滿足條件的MF的值為 或 ．

②證明：作AH∥EF交EM的延長線于H，連接DH、DE，如圖5所示：

同（1）得：△MHA≌△MEF，

∴MH＝ME，AH＝EF＝CE，

∵AH∥EF，EF⊥CE，

∴AH⊥CE，又∵AD⊥CD，

∴∠DAH＝∠DCE，

在△ADH和△CDE中，，

∴△ADH≌△CDE（SAS），

∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，

∴∠HDE＝90°，

∵MH＝ME，

∴DM＝ME，DM⊥EM．