Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F．
（1）如圖1，連接AC分別交DE、DF于點M、N，求證：MN= AC；
（2）如圖2，將△EDF以點D為旋轉中心旋轉，其兩邊DE′、DF′分別與直線AB、BC相交于點G、P，連接GP，當△DGP的面積等于3 時，求旋轉角的大小并指明旋轉方向．

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：如圖1 ，

連接BD，交AC于O，

在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AD=AB，

∴△ABD為等邊三角形，

∵DE⊥AB，

∴AE=EB，

∵AB∥DC，

∴ = ，

同理， = ，

∴MN= AC；

（2）

解：解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，

∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，

∴∠EDF=60°，

當∠EDF順時針旋轉時，

由旋轉的性質可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，

DE=DF= ，∠DEG=∠DFP=90°，

在△DEG和△DFP中，

，

∴△DEG≌△DFP，

∴DG=DP，

∴△DGP為等邊三角形，

∴△DGP的面積= DG2=3 ，

解得，DG=2 ，

則cos∠EDG= = ，

∴∠EDG=60°，

∴當順時針旋轉60°時，△DGP的面積等于3 ，

同理可得，當逆時針旋轉60°時，△DGP的面積也等于3 ，

綜上所述，將△EDF以點D為旋轉中心，順時針或逆時針旋轉60°時，△DGP的面積等于3 ．

【解析】（1）連接BD，證明△ABD為等邊三角形，根據等腰三角形的三線合一得到AE=EB，根據相似三角形的性質解答即可；
（2）分∠EDF順時針旋轉和逆時針旋轉兩種情況，根據旋轉變換的性質解答即可．本題考查的是菱形的性質和旋轉變換，掌握旋轉的性質：①對應點到旋轉中心的距離相等；②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；③旋轉前、后的圖形全等是解題的關鍵．