Question

【題目】小賢與小杰在探究某類二次函數問題時，經歷了如下過程：

求解體驗

(1)已知拋物線經過點(-1,0),則= ，頂點坐標為 ，該拋物線關于點(0,1）成中心對稱的拋物線的表達式是 .

抽象感悟

我們定義：對于拋物線,以軸上的點為中心，作該拋物線關于

點對稱的拋物線 ,則我們又稱拋物線為拋物線的“衍生拋物線”，點為“衍生中心”.

(2)已知拋物線關于點的衍生拋物線為，若這兩條拋物線有交點，求的取值范圍.

問題解決

(3) 已知拋物線

①若拋物線的衍生拋物線為,兩拋物線有兩個交點，且恰好是它們的頂點，求的值及衍生中心的坐標；

②若拋物線關于點的衍生拋物線為 ,其頂點為；關于點的衍生拋物線為，其頂點為；…；關于點的衍生拋物線為，其頂點為；…(為

正整數).求的長(用含的式子表示).

Answer 1

【答案】求解體驗： ；頂點坐標是(-2,1)；；抽象感悟：；問題解決：①；（0，6）；②

【解析】(1)把(-1，0)代入 即可未出=-4，然后把拋物線解析式變為頂點式即可求得拋物線的頂點坐標，繼而可得頂點關于（0，1）的對稱點，從而可寫出原拋物線關于點(0，1）成中心對稱的拋物線的表達式；

（2）先求出拋物線 的頂點是（-1，6），從而求出 (-1，6)關于的對稱點是，得 ，根據兩拋物線有交點，可以確定方程 有解，繼而求得m的取值范圍即可；

(3) ①先求出拋物線以及拋物線的衍生拋物線為，的頂點坐標，根據兩拋物線有兩個交點，且恰好是它們的頂點，求的值及再根據中點坐標公式即可求出衍生中心的坐標；

② 如圖，設 ， … ， 與軸分別相于 ， … ， ，則 ，，… ， 分別關于 ， … ， 中心對稱，由題意則可得 ， … 分別是△ ， … 的中位線，繼而可得 ， ，… ，再根據點的坐標即可求得的長.

求解體驗

(1)把(-1，0)代入 得，

∴，

∴頂點坐標是(-2，1)，

∵(-2，1)關于(0，1)的對稱點是(2，1)，

∴成中心對稱的拋物線表達式是：，

即 (如圖)

抽象感悟

(2) ∵ ，

∴ 頂點是（-1，6），

∵ (-1，6)關于的對稱點是，

∴ ，

∵ 兩拋物線有交點，

∴ 有解，

∴ 有解，

∴ ，

∴ ；(如圖)

問題解決

(3) ① ∵=，

∴ 頂點（-1，），

代入 得：①

∵ ，

∴ 頂點（1，），

代入 得：②

由① ② 得 ，

∵ ，，

∴ ，

∴ 兩頂點坐標分別是（-1，0），（1，12），

由中點坐標公式得“衍生中心”的坐標是（0，6）；

② 如圖，設 ， … ， 與軸分別相于 ， … ， ，

則 ，，… ， 分別關于 ， … ， 中心對稱，

∴ ， … 分別是△ ， … 的中位線，

∴ ， ，… ，

∵ ， ，

∴ ].