Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=，∠B=120°，點E是AD邊上的一個動點（不與A，D重合），EF∥AB交BC于點F，點G在CD上，DG=DE．若△EFG是等腰三角形，則DE的長為_____．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

由四邊形ABCD是菱形，得到BC∥AD，由于EF∥AB，得到四邊形ABFE是平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到EF∥AB，于是得到EF=AB=，當△EFG為等腰三角形時，①EF=GE=時，于是得到DE=DG=AD÷=1，②GE=GF時，根據勾股定理得到DE=．

∵四邊形ABCD是菱形，∠B=120°，

∴∠D=∠B=120°，∠A=180°-120°=60°，BC∥AD，

∵EF∥AB，

∴四邊形ABFE是平行四邊形，

∴EF∥AB，

∴EF=AB=，∠DEF=∠A=60°，∠EFC=∠B=120°，

∵DE=DG，

∴∠DEG=∠DGE=30°，

∴∠FEG=30°，

當△EFG為等腰三角形時，

當EF=EG時，EG=，

如圖1，

過點D作DH⊥EG于H，

∴EH=EG=，

在Rt△DEH中，DE==1，

GE=GF時，如圖2，

過點G作GQ⊥EF，

∴EQ=EF=，在Rt△EQG中，∠QEG=30°，

∴EG=1，

過點D作DP⊥EG于P，

∴PE=EG=，

同①的方法得，DE=，

當EF=FG時，由∠EFG=180°-2×30°=120°=∠CFE，此時，點C和點G重合，點F和點B重合，不符合題意，

故答案為：1或．