Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3過點A（-1，0），B（3，0），點M，N為拋物線上的動點，過點M作MD∥y軸，交直線BC于點D，交x軸于點E．

（1）求拋物線的表達式；

（2）過點N作NF⊥x軸，垂足為點F，若四邊形MNFE為正方形（此處限定點M在對稱軸的右側），求該正方形的面積；

（3）若∠DMN=90°，MD=MN，直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）正方形的面積為24+8或24-8；（3）點M的坐標為（，）或（2，3）或（-1，0）或（，）．

【解析】

（1）根據點在拋物線圖像上,將點代入解析式,待定系數法解題,

（2）設點M坐標為（m，-m2+2m+3），分別表示出ME=|-m2+2m+3|，MN=2m-2，由四邊形MNFE為正方形得ME=MN,列方程,分類討論即可求解,

（3）先求出直線BC解析式,設點M的坐標為（a，-a2+2a+3），表示出點N和點D坐標,由MD=MN,列方程,分類討論即可求解.

（1）∵拋物線y=ax2+bx+3過點A（-1，0），B（3，0），

∴，

解得：，

∴拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

（2）由（1）知，拋物線的對稱軸為x=-=1，

如圖，設點M坐標為（m，-m2+2m+3），

∴ME=|-m2+2m+3|，

∵M、N關于x=1對稱，且點M在對稱軸右側，

∴點N的橫坐標為2-m，

∴MN=2m-2，

∵四邊形MNFE為正方形，

∴ME=MN，

∴|-m2+2m+3|=2m-2，

分兩種情況：

①當-m2+2m+3=2m-2時，解得：m1=、m2=-（不符合題意，舍去），

當m=時，正方形的面積為（2-2）2=24-8；

②當-m2+2m+3=2-2m時，解得：m3=2+，m4=2-（不符合題意，舍去），

當m=2+時，正方形的面積為[2（2+）-2]2=24+8；

綜上所述，正方形的面積為24+8或24-8．

（3）設BC所在直線解析式為y=kx+b，

把點B（3，0）、C（0，3）代入表達式，得：

，解得：，

∴直線BC的函數表達式為y=-x+3，

設點M的坐標為（a，-a2+2a+3），則點N（2-a，-a2+2a+3），點D（a，-a+3），

①點M在對稱軸右側，即a＞1，

則|-a+3-（-a2+2a+3）|=a-（2-a），即|a2-3a|=2a-2，

若a2-3a≥0，即a≤0或a≥3，a2-3a=2a-2，

解得：a=或a=＜1（舍去）；

若a2-3a＜0，即0＜a＜3，a2-3a=2-2a，

解得：a=-1（舍去）或a=2；

②點M在對稱軸左側，即a＜1，

則|-a+3-（-a2+2a+3）|=2-a-a，即|a2-3a|=2-2a，

若a2-3a≥0，即a≤0或a≥3，a2-3a=2-2a，

解得：a=-1或a=2（舍）；

若a2-3a＜0，即0＜a＜3，a2-3a=2a-2，

解得：a=（舍去）或a=；

綜上，點M的坐標為（，）或（2，3）或（-1，0）或（，）．