Question

【題目】已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點，點C、D是某個函數圖象上的點，當四邊形ABCD(A、B、C、D各點依次排列)為正方形時，稱這個正方形為此函數圖象的伴侶正方形.例如：如圖l，正方形ABCD是一次函數圖象的其中一個伴侶正方形.

(1)若某函數是一次函數，直接寫出它的圖象的所有伴侶正方形的邊長；

(2)若某函數是反比例函數(k>0)，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點D(3，m)(m<3)在這個反比例函數圖象上，求m的值及反比例函數解析式；

(3)若某函數是二次函數(a≠0)，它的圖象的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個點坐標為(4，5).直接寫出所有伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標及相應的拋物線解析式.

Answer 1

【答案】(1)或2；(2)m的值為，反比例函數解析式為；(3)見解析.

【解析】

（1）先正確地畫出圖形，再利用正方形的性質確定相關點的坐標從而計算正方形的邊長，注意思維的嚴密性．
（2）因為ABCD為正方形，所以可作垂線得到等腰直角三角形，利用點D（2，m）的坐標表示出點C的坐標從而求解．
（3）注意思維的嚴密性，拋物線開口既可能向上，也可能向下．當拋物線開口向上時，正方形的另一個頂點也是在拋物線上，這個點既可能在點(4，5)的左邊，也可能在點(4，5)的右邊，過點(4，5)向x軸作垂線，利用全等三角形確定線段的長即可確定拋物線上另一個點的坐標；當拋物線開口向下時也是一樣地分為兩種情況來討論．

(1)(I)當點A在x軸正半軸、點B在y軸負半軸上時：

正方形ABCD的邊長為.

(II)當點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時：

設正方形邊長為a,易得

解得a=,此時正方形的邊長為.

∴所求“伴侶正方形”的邊長為或；

(2)如圖，作DE⊥x軸，CF⊥y軸，垂足分別為點E.F，

易證△ADE≌△BAO≌△CBF.

∵點D的坐標為(3,m)，m<3，

∴DE=OA=BF=m，

∴OB=AE=CF=3m.

∴OF=BF+OB=3，

∴點C的坐標為(3m,3).

∴3m=3(3m)，解得m=.

∴反比例函數的解析式為.

(3)另一個頂點坐標為(9，－4)，拋物線解析式為；

另一個頂點坐標為(－l，4)，拋物線解析式為；

另一個頂點坐標為(－5，9)，拋物線解析式為；

另一個頂點坐標為(5，1)，拋物線解析式為.