Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，半徑為1的⊙A圓心與原點O重合，直線l分別交x軸、y軸于點B、C，點B的坐標為（6，0），∠ABC＝60°．

（1）若點P是⊙A上的動點，則P到直線BC的最小距離是　 　．

（2）若點A從原點O出發，以1個單位/秒的速度沿著線路OB→BC→CO運動，回到點O停止運動，⊙A隨著點A的運動而移動．設點A運動的時間為t．

①求⊙A在整個運動過程中與坐標軸相切時t的取值；

②求⊙A在整個運動過程中所掃過的圖形的面積．

Answer 1

【答案】（1）P到直線BC的最小距離是3﹣1；（2）①t的值是1秒或（6+）秒或16秒或（17+6）秒；②10+33+π.

【解析】

（1）作高線AG，利用點B的坐標為（6，0），根據直角三角形30度角的性質及勾股定理可得AE和PE的長；

（2）①利用切線的性質和特殊三角函數可得對應t的值即可，注意利用數形結合得出．

②利用⊙A在整個運動過程中所掃過的面積＝矩形DROC面積+矩形OYHB面積+矩形BGFC面積+△ABC面積+一個圓的面積﹣△LSK面積，求出即可．

解：（1）如圖1，∵點B的坐標為（6，0），

∴OB＝6，

∵∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，

過A作AG⊥BC于G，交⊙A于P，此時P到直線BC的距離最小，

∴∠EAB＝30°，

∴BE＝OB＝3，

∴

∵AP＝1，

∴

則P到直線BC的最小距離是；

故答案為：；

（2）①如圖2所示：⊙A在整個運動過程中與坐標軸相切有4種不同的情況，

∵∠OCB＝30°，OB＝6，

∴BC＝12，

當⊙O1與y軸相切于點O，可知：t＝OO1＝1；

同理可得：OO4＝1，

此時t＝6+12+﹣1＝17+；

當⊙O2與x軸相切于點T，

∴O2T＝1，∠OBC＝60°，

∴sin60°＝,

∴

∴O2B＝，

∴，

同理可得：當⊙O3與y軸相切時，t＝6+12﹣2＝16；

綜上所述，當⊙A在整個運動過程中與坐標軸相切時，t的值是1秒或（）秒或16秒或（17+6）秒；

②如圖3所示：當圓分別在O，B，C位置時，作出公切線DR，YH，FG，PW，切點分別為：D，R，H，G，F，P，W

連接CD，CF，BG，過點K作KX⊥BC于點X，PW交BC于點U，

∵PU∥OB，

∴∠OBC＝∠KUX，

∵∠KXU＝∠COB＝90°，

∴△COB∽△KXU，

∵KX＝1，BC＝12，

∴

∴

解得：KU＝，

∵PU∥BO，

∴△CPU∽△COB，

∴

∴

解得：

則

同理可得出：△LSK∽△COB，

∴

∴

解得：

則∠CDR＝∠CFG＝∠BGF＝∠BHY＝∠AYH＝90°，

故⊙A在整個運動過程中所掃過的面積

＝矩形DROC面積+矩形OYHB面積+矩形BGFC面積+△ABC面積+一個圓的面積﹣△LSK面積