Question

【題目】在平面直角坐標系中，等腰的底邊在軸上，已知，拋物線(其中)經過三點，雙曲線(其中)經過點軸，軸，垂足分別為且

（1）求出的值；當為直角三角形時，請求出的表達式；

（2）當為正三角形時，直線平分，求時的取值范圍；

（3）拋物線（其中）有一時刻恰好經過點，且此時拋物線與雙曲線（其中）有且只有一個公共點（其中），我們不妨把此時刻的記作，請直接寫出拋物線（其中）與雙曲線（其中）有一個公共點時的取值范圍．（是已知數）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據題意得，，故可得出k=；由變形為得A，B兩點為拋物線與x軸的交點，故點C為直角頂點，求出點C坐標，代入，求出a的值即可；

（2）由為正三角形可求出點C坐標，從而得出拋物線y2的解析式，再根據直線平分求出b和c，得到直線y3解析式，聯立y1與y3，y2與y3，求出交點坐標，從而解決問題；

（3）分、、、，四種情況分別求解即可．

（1）∵點軸，軸，

∴，

又雙曲線經過點

∴；

∵

∴拋物線y1與x軸的交點坐標為（-1，0），（3，0）

∴點在拋物線y1上，

∴點C是直角頂點，AB=3-(-1)=4，

過點C作CD⊥AB于點D，則CD=AB=2，

∴OD=AD-AO=1，

∴C（1，2）

把C（1，2）代入，求得，

∴；

∵A(-1,0)，B（3，0）

∴AB=4

過C點作CD⊥AB，垂足為D，

∵△ABC是正三角形，

∴AC=AB=4，AD=AB=2，OD=1

∴

∴C(1,)

把C(1,) 代入，解得，，

∴

∵直線平分，

∴∠OAE=30°,

∴AE=2OE

∵AO=1，

∴，解得，

∴c=

把（-1，0）代入得，b=

∴

聯立與得

解得，，

所以當時，

聯立與得，

解得，，

當時，

所以當時，

①當時，

拋物線與雙曲線沒有公共點;

②當時，拋物線與雙曲線有唯一公共點

③當時，當拋物線右端點正好落在雙曲線上時,

當時,拋物線與雙曲線有兩個公共點;

④當時,拋物線和雙曲線始終有一個公共點;

所以當時,拋物線和雙曲線始終有一個公共點