Question

【題目】如圖，在⊙O中，弦AB、CD互相垂直，垂足為E，點M在CD上，連接AM并延長交BC于點F，交圓上于點G，連接AD，AD=AM.

（1）如圖1，求證：AG⊥BC；

（2）如圖2，連接EF，DG，求證：EF∥DG；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，若∠ABG=2∠BAG，EF=15，AB=32，求BG長.

Answer 1

【答案】（1）AG⊥BC；（2）E、F分別為MD、MG中點，EF∥DG ；（3）BG=18

【解析】

試題

（1）由AB⊥CD于點E可得∠B+∠C=90°；由AD=AM，可得∠CMF=∠AMD=∠D=∠B，由此可得∠CMF+∠C=90°，從而得到∠CFM=90°即可得到AG⊥BC；

（2）如圖2，連接CG，由AD=AM，AB⊥CD可得點E是DM的中點；由（1）可知∠CMF=∠B，結合∠B=∠CGA，可得∠CMF=∠CGA，從而可得CM=CG，結合（1）中結論AG⊥BC可得點F是MG的中點，由此可得EF是△MDG的中位線，從而可得結論EF∥DG；

（3）如圖3，作∠ABG的平分線交AG于點N，由∠ABG=2∠BAG，結合已知條件可證得∠ABG=∠DAG，從而得到AG=DG=2EF=30；由BN平分∠ABG及∠ABG=2∠BAG可得∠GBN=∠ABN=∠GAB，結合∠AGB=∠BGA可證得△GBN∽GAB，BN=AN，設AN=x、BG=y，根據相似三角形的性質列出比例式即可解得BG的值.

試題解析：

（1）∵AB⊥CD于點E，

∴∠BEC=90°，

∴∠B+∠C=90°.

∵AD=AM，

∴∠AMD=∠D=∠B，

又∵∠CMF=∠AMD，

∴∠CMF=∠B，

∴∠CMF+∠C=90°，

∴∠CFM=90°，

∴AG⊥BC；

（2）如圖2，連接CG，

（2）由（1）可知，∠CMF=∠B，

∵∠B=∠CGA，

∴∠CMF=∠G，

∴CM=CG，

又∵AG⊥BC，

∴點F是MG的中點.

∵AD=AM，AB⊥CD，

∴點E是DM的中點，

∴EF是△MDG的中位線，

∴EF∥DG；

（3）∵由（2）可知，EF是△MDG的中位線，EF=15，

∴DG=2EF=30，

∵AD=AM，AB⊥CD，

∴∠DAG=2∠BAG，

又∵∠ABG=2∠BAG，

∴∠ABG=∠DAG，

∴AG=DG=30.

如圖3，作BN平分∠ABG，則∠GBN=∠ABN=∠GAB，

∴AN=BN，

∵∠AGB=∠BGA，

∴△GBN∽GAB，

∴，，

設BG=x，AN=BN=y，則GN=AG-AN=30-y，

∴，，兩式變形可得：，

解得：（不合題意，舍去），

∴BG=18.