Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點，以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE.設∠BAC＝α，∠DCE＝β.

(1)如圖①，點D在線段BC上移動時，角α與β之間的數量關系是____________，請說明理由；

(2)如圖②，點D在線段BC的延長線上移動時，角α與β之間的數量關系是____________，請說明理由；

(3)當點D在線段BC的反向延長線上移動時，請在圖③中畫出完整圖形并猜想角α與β之間的數量關系是________________．

Answer 1

【答案】（1）α＋β＝180°，理由見解析；（2）α＝β，理由見解析；（3）α＝β

【解析】

（1）如圖①，根據等式的性質就可以得出∠CAE=∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，由三角形的內角和定理就可以得出結論；

（2）如圖②，根據等式的性質就可以得出∠CAE=∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出結論；

（3）根據條件畫出圖形③，根據等式的性質就可以得出∠CAE=∠BAD，就可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，由外角與內角的關系就可以得出結論．

解：(1)α＋β＝180°

理由：∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠DAE－∠CAD＝∠BAC－∠CAD，

即∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS) ，

∴∠ABD＝∠ACE，

在△ABC中，

∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACE，

∴∠BAC＋∠ACB＋∠ACE＝180°，

∵∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＝β，

∴α＋β＝180°；

(2)α＝β

理由：∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE.

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)．

∴∠ABD＝∠ACE.

∵∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，

∴∠ACD＝∠ABC＋∠BAC＝∠ACE＋∠ECD.

∴∠BAC＝∠ECD.

∴α＝β.

(3)α＝β.

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