Question

在坐標平面內，半徑為R的⊙C與x軸交于點D（1，0）、E（5，0），與y軸的正半軸相切于點A。點A、B關于x軸對稱，點P（a，0）在x的正半軸上運動，作直線BP，作EH⊥BP于H。

⑴求圓心C的坐標及半徑R的值；
⑵△POB和△PHE隨點P的運動而變化，若它們全等，求a的值；
⑶當a＝６時，試確定直線BP與⊙C的位置關系并說明理由。

Answer 1

（1）C(3，)，R=3；（2）a=2；（3）相離.

試題分析：（1）由題意知圓心C點的橫坐標為DE中點的坐標，縱坐標和B點縱坐標相等，用切割線定理求出OB的長即可，C點的橫坐標等于半徑；
（2）因為△POA≌△PHE，OE的長為直角邊和斜邊的和，而OE的長已求，用OP表示PE，并且OA=OB．根據勾股定理求出OP的長即為a的值，過A作圓的切線為標準證明AP與⊙C的關系．
試題解析：（1）連接BC，則BC⊥y軸．取DE中點M，連CM，則CM⊥x軸．

∵OD=1，OE=5，
∴OM=3．
∵OB²=OD•OE=5，
∴OB=．
∴圓心C(3，)，半徑R=3．
（2）∵△POA≌△PHE，
∴PA=PE．
∵OA=OB=，OE=5，OP=a，
∴PA²=a²+5，PE²=（5-a）²，
∴a²+5=（a-5）²，
解得：a=2．
（3）過點A作⊙C的切線AT（T為切點），交x軸正半軸于Q．

設Q（m，0），則QE=m-5，QD=m-1，
QT=QA-AT=QA-AB=．
由QT²=QE•QD，得()²=（m-5）（m-1），

11m²-60m=0．
∵m＞0，
∴m=．
∵a=6，點P（6，0），在點Q(，0)的右側，
∴直線AP與⊙C相離．
考點: 1.直線與圓的位置關系；2.直角三角形全等的判定；3.切割線定理．