Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，D，E為⊙O上位于AB異側的兩點，連結BD并延長至點C，使得CD＝BD，連結AC交⊙O于點F，連接BE，DE，DF．

（1）若∠E＝35°，求∠BDF的度數．

（2）若DF＝4，cos∠CFD＝，E是的中點，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）∠BDF＝110°；（2）DE＝2+．

【解析】

（1）連接EF，BF，由AB是⊙O的直徑，得到∠AFB=∠BFC=90°，推出，得到∠DEF=∠BED=35°，根據圓內接四邊形的性質即可得到結論；

（2）連接AD，OE，過B作BG⊥DE于G，解直角三角形得到AB=6，由E是的中點，AB是⊙O的直徑，得到∠AOE=90°，根據勾股定理即可得到結論．

（1）如圖1，連接EF，BF，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFB＝∠BFC＝90°，

∵CD＝BD，

∴DF＝BD＝CD，

∴，

∴∠DEF＝∠BED＝35°，

∴∠BEF＝70°，

∴∠BDF＝180°﹣∠BEF＝110°；

（2）如圖2，連接AD，OE，過B作BG⊥DE于G，

∵∠CFD＝∠ABD，

∴cos∠ABD＝cos∠CFD＝，

在Rt△ABD中，BD＝DF＝4，

∴AB＝6，

∵E是的中點，AB是⊙O的直徑，

∴∠AOE＝90°，

∵BO＝OE＝3，

∴BE＝3，

∴∠BDE＝∠ADE＝45°，

∴DG＝BG＝BD＝2，

∴GE＝＝，

∴DE＝DG+GE＝2+．