Question

【題目】△ABC中，AD是BC邊上的高，BD=3，CD=1，AD=2，P、Q、R分別是BC、AB、AC邊上的動點，則△PQR周長的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】如圖1中，作P點關于AB的對稱點P′，作P點關于AC的對稱點P″，連接P′P″，與AB交于點Q′，與AC交于點R′，連接PP′交AB于M，連接PP″交AC于N，

此時△PQ′R′的周長最小，這個最小值=P′P″，

∵PM=MP′，PN=NP″，

∴P′P″=2MN，

∴當MN最小時P′P″最小．如圖2中，

∵∠AMP=∠ANP=90°，

∴A、M、P、N四點共圓，線段AP就是圓的直徑，MN是弦，

∵∠MAN是定值，

∴直徑AP最小時，弦MN最小，

∴當點P與點D重合時，PA最小，此時MN最小．

如圖3中，

∵在RT△ABD中，∠ADB=90°，AD=2，DB=3，

∴AB= ，在RT△ADC中，

∵∠ADC=90°，AD=2，CD=1，

∴AC= ，

∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴ ACDN= DCAD，

∴DN= ，AN= ，

∵∠MAD=∠DAB，∠AMD=∠ADB，

∴△AMD∽△ADB，∴ ，

∴ =AMAB，同理 =ANAC，

∴AMAB=ANAC，

∴ ，

∵∠MAN=∠CAB，∴△AMN∽△ACB，

∴ ，

∴ ，

∴MN= ，

∴△PQR周長的最小值=P′P″=2MN= ．

故答案為： ．

如圖1中，作P點關于AB的對稱點P′，作P點關于AC的對稱點P″，連接P′P″，與AB交于點Q′，與AC交于點R′，連接PP′交AB于M，連接PP″交AC于N，此時△PQ′R′的周長最小，這個最小值=P′P″，然后證出P′P″=2MN，當MN最小時P′P″最小．如圖2中， 根據圓周角定理得出A、M、P、N四點共圓，線段AP就是圓的直徑，MN是弦，又由于∠MAN是定值，故直徑AP最小時，弦MN最小，從而知道當點P與點D重合時，PA最小，此時MN最小，如圖3中，首先根據勾股定理得出AB,AC的長度，然后根據面積法得出DN長，再根據勾股定理算出AN的長，進而判斷出△AMD∽△ADB，根據相似三角形的性質得出 A D 2 =AMAB，同理 A D 2 =ANAC，故AMAB=ANAC，從而再判斷出△AMN∽△ACB，根據相似三角形的性質得出MN的長，從而得出答案。