Question

如圖，矩形ABCD中，點M從A點出發在線段AB上作勻速運動（不與A、B重合），同時點N從B點出發在線段BC上作勻速運動．
（1）如圖1，若M為AB中點，且DM⊥MN．請在圖中找出兩對相似三角形：
①______∽_______，②______∽______，選擇其中一對加以證明；
（2）①如圖2，若AB=5，BC=3點M的速度為1個單位長度/秒，點N的速度為個單位長度/秒，運動的時間為t秒．當t為何值時，△DAM與△MBN相似？請說明理由；
②如果把點N的速度改為a個單位長度/秒，其它條件不變，是否存在a的值，使得△DAM與△MBN和△DCN這兩個三角形都相似？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先可得有△DAM∽△MBN，△DAM∽△DMN，△DMN∽△MBN三對相似；然后選擇其中的一對證明即可，注意應用矩形的性質，特別是同角或等角的余角相等的性質的應用；
（2）①如圖2可得AM=t，MB=5-t，BN=t（0＜t＜5），然后分兩種情況：（Ⅰ）當∠1=∠3時，△DAM∽△MBN與（Ⅱ）當∠2=∠3時，△DAM∽△NBM去分析根據相似三角形的對應邊成比例，即可得方程，解方程即可求得答案；
②分四種情況去分析：（Ⅰ）當∠1=∠3=∠6時，∠DMN=90°，△DAM∽△MBN∽△DCN，（Ⅱ）當∠1=∠3=∠5時，（Ⅲ）當∠2=∠3=∠6時，（Ⅳ）當∠2=∠3=∠5時，△DAM∽△NBM∽△DCN，根據相似三角形的對應邊成比例列方程求解即可求得答案．
解答：解：（1）有△DAM∽△MBN，△DAM∽△DMN，△DMN∽△MBN三對相似；
選△DAM∽△MBN，
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠ADM=90°-∠AMD，
∵DM⊥MN，
∴∠BMN=180°-90°-∠AMD=90°-∠AMD，
∴∠ADM=∠BMD，
∴△DAM∽△MBN；

選△DAM∽△DMN，
證明：延長NM交DA的延長線于E點，如圖1．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，
∴∠EAM=∠B=90°，
又∵∠AME=∠BMN，AM=BM，
∴△AME≌△BMN，
∴EM=MN，
又∵DM⊥MN，
∴DE=DN，
∴∠ADM=∠NDM，
又∵∠DAM=∠DMN=90°，
∴△DAM∽△DMN；

選△DAM∽△MBN，
證明：延長MN交DA的延長線于E點，如圖1．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，
∴∠EAM=∠B=90°，
又∵∠AME=∠BMN，AM=BM，
∴△AME≌△BMN，
∴EM=MN，∠E=∠MNB，
又∵DM⊥MN，
∴DE=DN，
∴∠E=∠DNM，
∴∠DNM=∠MNB，
又∵∠DMN=∠B=90°，
∴△DMN∽△MBN；

（2）①如圖2，AM=t，MB=5-t，BN=t（0＜t＜5），
分兩種情況：（Ⅰ）當∠1=∠3時，△DAM∽△MBN，
∴，
∴，
解得：t=，
（Ⅱ）當∠2=∠3時，△DAM∽△NBM，
∴，
∴AM•BN=AD•BM，
∴t×t=3（5-t），
解得：t₃=-3，t₄=--3（不合題意舍去），
∴當t=時，△DAM∽△MBN；當t=-3時，△DAM∽△NBM．

②分四種情況：（Ⅰ）當∠1=∠3=∠6時，∠DMN=90°，△DAM∽△MBN∽△DCN，
由，
得：BN=，
∴CN=，
由，得：CN•MB=DC•BN，
∴-（5-t）=5-，
化簡得：t²-10t+9=0，解得：t₁=1，t₂=9（不合題意舍去），a=，
（Ⅱ）當∠1=∠3=∠5時，
∵∠5+∠6=90°，
∴∠1+∠6=90°，（與已知條件矛盾）
所以此時不存在．
（Ⅲ）當∠2=∠3=∠6時，
方法一：∵∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠6=90°，（與已知條件矛盾）所以此時不存在．
方法二：由，
得：BN=，
∴CN=，
由，得：CN•MB=DC•BN，
∴（5-t）=5-，
解得：t=5（不合題意舍去），所以此時不存在．
（Ⅳ）當∠2=∠3=∠5時，△DAM∽△NBM∽△DCN，
由（Ⅲ）得BN=，
∴CN=，
由，得：CN•NB=DC•BM，
∴-=5（5-t），
化簡得：5t²-18t+45=0方程沒有實數根，所以此時不存在．
綜上所述：當a=時，△DAM∽△MBN∽△DCN．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質，一元二次方程的解法，以及直角三角形的性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．