Question

【題目】如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，則下列結論：①DE=DF；①AD平分∠BAC；③AE=AD；④AB+AC=2AE．其中正確的有（ ）．

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據HL定理證明Rt△BDE≌Rt△CDF得出對應邊DE=DF，進一步得出AD平分∠BAC，①②正確；再根據直角三角形斜邊大于直角邊得出AE>AD，③錯誤；最后利用全等三角形性質進一步證明④即可.

∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴∠E=∠DFC=90°，

在Rt△BDE與Rt△CDF中，

∵BD=CD，BE=CF

∴Rt△BDE≌Rt△CDF，

∴DE=DF，即①正確，

又∵∠E=∠DFC=90°，

∴AD平分∠BAC，即②正確，

在Rt△AED中，

∵AE為直角邊，AD為斜邊，

∴AE>AD，即③錯誤，

在Rt△ADE與Rt△ADF中，

∵DE=DF，AD=AD，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF，

∴AE=AF，

∵BE=CF，

∴AB+AC=AB+AF+CF= AB+AF+BE=AE+AF=2AE，即④正確，

綜上所述，共有三個正確，

故選：C.