Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB為2cm，弦BC為1cm，∠ACB的平分線與⊙O交于點D，與AB交于點E，P為AB延長線上一點，連接PC，且PC＝PE．

（1）求AC、AD的長；

（2）試判斷直線PC與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)AC= cm,AD=;(2) 直線PC與⊙O相切，理由見解析

【解析】（1）連接BD，如圖，根據圓周角定理由AB為直徑得∠ACB=∠ADB=90°，則可利用勾股定理計算出 由CD平分∠ACB得 根據圓周角定理得 則為等腰直角三角形，由勾股定理即可得出的長；
（2）連接OC，由PC=PE，得∠PCE=∠PEC，利用三角形外角性質得∠PEC=∠CAE+∠ACE，根據CD平分∠ACB，得到∠ACE=∠ECB，∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，于是根據切線的判定定理可得PC為的切線．

（1）①如圖，連接BD，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在中，

AC=== cm，

②∵CD平分∠ACB，

∴AD=BD，

∴Rt△ABD是直角等腰三角形，

（2）直線PC與⊙O相切，

理由：連接OC，

∵OC=OA，

∴∠CAO=∠OCA，

∵PC=PE，

∴∠PCE=∠PEC，

∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACE=∠ECB，

∴∠PCB=∠ACO，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠CB=90°，

OC⊥PC，

∴直線PC與⊙O相切．