Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點A、B、C在☉O上，AD與⊙O相切，射線AO交BC于點E，交⊙O于點F．點P在射線AO上，且∠PCB=2∠BAF．

（1）求證：直線PC是⊙O的切線；
（2）若AB= ，AD=2，求線段PC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵AD與⊙O相切于點A，

∴FA⊥AD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴FA⊥BC，

∵FA經過圓心O，

∴F是弧BC的中點，BE=CE，∠OEC=90°，

∴∠COF=2∠BAF．

∵∠PCB=2∠BAF，

∴∠PCB=∠COF，

∵∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，

∴∠OCE+∠PCB=90°．

∴OC⊥PC，

∵點C在⊙O上，

∴直線PC是⊙O的切線；

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC=AD=2，

∴BE=CE=1，

在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB= ，

∴AE= ，

設⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=3﹣r，

在Rt△OCE中，∠OEC=90°，

∴OC2=OE2+CE2，

∴r2=（3﹣r）2+1，

解得r= ，

∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°．

∴△OCE∽△CPE，

∴ ．

∴ = ，

∴CP= ．

【解析】（1）連接OC，首先依據切線的性質可得到FA⊥AD，然后平行線的定義可得到AD∥BC，然后由垂徑定理可證得F是弧BC的中點，BE=CE，∠OEC=90°，然后結合條件∠PCB=2∠BAF，可得到∠OCE+∠PCB=90°，最后，再依據切線的判定定理進行證明即可；
（2）依據勾股定理可求得AE的長，設⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=3-r，在Rt△OCE中，依據勾股定理列出關于r的方程可求得r的值，接下來，再證明△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的對應邊成比例可求得線段PC的長.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行四邊形的性質和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．