Question

【題目】如圖，Rt△ABC，∠C=90°，點D為AB上的一點，以AD為直徑的⊙O與BC相切于點E，連接AE．

（1）求證：AE平分∠BAC；

（2）若AC=8，OB=18，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）12.

【解析】試題分析：（1）如圖，連接OE．首先證明AC∥OE，推出∠CAE=∠AEO，由OA=OE，推出∠AEO=∠OAE=∠CAE即可證明．

（2）設OE=OA=OD=r，由OE∥AC，得，即，解方程即可．

試題解析：（1）證明：如圖，連接OE．

∵BC是⊙O切線，∴OE⊥BC，∴∠OEB=90°，∵∠C=90°，∴∠C=∠OEB=90°，∴AC∥OE，∴∠CAE=∠AEO，∵OA=OE，∴∠AEO=∠OAE=∠CAE，∴AE平分∠CAB；

（2）解：設OE=OA=OD=r，∵OE∥AC，∴ ，即，∴r=6（負根已經舍棄），∴BD=OB﹣OD=18﹣6=12．