Question

【題目】如圖，在中，，，點在斜邊上，連接，把沿直線翻折，使點落在同一平面內的點處．當與的直角邊垂直時，的長為__________．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

分兩種情況討論，當A′D⊥AC時，易證A′D∥BC，A′C⊥AB，△BCH∽△BAC，求得CH和A′H的長，再證得△A′HD∽△CHB，，求得A′D=1，即AD=1；當A′D⊥BC時，則A′D∥AC，AD=A′D，AC=A′C，∠ACD=∠A′CD，推出∠A′DC=∠A′CD，則A′D=A′C，即可求得答案．

在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，
∴，

如圖，當A′D⊥AC，

∵把△ACD沿直線CD折疊，點A落在同一平面內的A′處，
∴∠A′=∠A，A′D=AD，A′C=AC，
∵BC⊥AC，
∴A′D∥BC，

∠A′=∠A′CB =∠A，

∵∠B=∠B，
∴△BCH∽△BAC，

∴，即，

∴，

∴，

∵A′D∥BC，
∴△A′HD∽△CHB，

∴，即，

解得：A′D=1，
∴AD=1；

如圖，當A′D⊥BC時，則A′D∥AC，

∵把△ACD沿直線CD折疊，點A落在同一平面內的A′處，
∴AD=A′D，AC=A′C，∠ACD=∠A′CD，
∵A′D∥AC，

∴∠A′DC=∠ACD，
∴∠A′DC=∠A′CD，
∴A′D=A′C，
∴AD=AC=，

綜上所述：AD的長為：1或，

故答案為：1或．