Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為4，點G、H分別是BC、CD邊上的點，直線GH與AB、AD的延長線相交于點E、F，連接AG、AH．

（1）當BG=2，DH=3時，則GH：HF=　　，∠AGH=　　°；

（2）若BG=3，DH=1，求DF、EG的長；

（3）設BG=x，DH=y，若△ABG∽△FDH，求y與x之間的函數關系式，并求出y的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1：3，90；（2）；（3）3≤y＜4．

【解析】試題分析：（1）根據正方形ABCD的邊長為4，BG=2，DH=3，可得CG=2，CH=1，再根據DF∥CG，得出△FDH∽△GCH，根據相似三角形的性質可得GH：HF的值，最后根據勾股定理的逆定理，判定△AGH是直角三角形，且∠AGH=90°即可；

（2）根據正方形ABCD的邊長為4，BG=3，DH=1，得出CG=1，CH=3，再根據CG∥DF，CH∥BE，可得△CGH∽△BGE∽△DFH，最后根據相似三角形的性質以及勾股定理，求得DF、EG的長；

（3）根據正方形ABCD的邊長為4，BG=x，DH=y，得出CG=4﹣x，CH=4﹣y，由（1）可得，△FDH∽△GCH，而△ABG∽△FDH，進而得出△ABG∽△GCH，根據相似三角形的對應邊成比例，可得y與x之間的函數關系式為：y=x2﹣x+4，最后運用二次函數的性質求得3≤y＜4即可．

試題解析：解：（1）∵正方形ABCD的邊長為4，BG=2，DH=3，∴CG=2，CH=1，∵DF∥CG，∴△FDH∽△GCH，∴ ，∵Rt△GCH中，GH2=CG2+CH2=5，Rt△ABG中，AG2=AB2+BG2=20，Rt△ADH中，AH2=AD2+DH2=25，∴GH2+AG2=AH2，∴△AGH是直角三角形，且∠AGH=90°．

故答案為：1：3，90；

（2）∵正方形ABCD的邊長為4，BG=3，DH=1，∴CG=1，CH=3，∵CG∥DF，CH∥BE，∴△CGH∽△BGE∽△DFH，∴ ，即 ，解得BE=9，DF=，∴Rt△BEG中，EG===；

（3）∵正方形ABCD的邊長為4，BG=x，DH=y，∴CG=4﹣x，CH=4﹣y，由（1）可得，△FDH∽△GCH，而△ABG∽△FDH，∴△ABG∽△GCH，∴ ，即 ，∴y與x之間的函數關系式為：y=x2﹣x+4，∵，∴4﹣y= = ，∴當x=﹣ =2時，4﹣y有最大值，且最大值為﹣×4+2=1，∴0＜4﹣y≤1，解得3≤y＜4．