Question

【題目】如圖1，等腰梯形OABC的底邊OC在x軸上，AB∥OC，O為坐標原點，OA = AB =BC，∠AOC=60°，連接OB，點P為線段OB上一個動點，點E為邊OC中點.

（1）連接PA.PE，求證：PA=PE；

（2）連接PC，若PC+PE=2，試求AB的最大值；

（3）在（2）在條件下，當AB取最大值時，如圖2，點M坐標為（0，－1），點D為線段OC上一個動點，當D點從O點向C點移動時，直線MD與梯形另一邊交點為N，設D點橫坐標為m，當△MNC為鈍角三角形時，求m的范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）AB的最大值為2；（3）當0<m< 或<m<4時，△MNC為鈍角三角形.

【解析】

（1）連接AE，先證明∠ABO=∠BOC，再證明△OAE為等邊三角形即可得證；

（2）由PC+PE=2，可知PC+PA=2.根據三角形三邊關系OB=AC≤PC+PA，列不等式即可；

（3）當AB取最大值時，AB=OA=BC=2，OC=4.分三種情況討論：①當N點在OA上時，如圖2，若CN⊥MN時，此時線段OA上N點下方的點（不包括N、O）均滿足△MNC為鈍角三角形。

②當N點在AB上時，不能滿足△MNC為鈍角三角形；@當N點在BC上時，如圖3，若CN⊥MN時，此時BC上N點下方的點（不包括N、C）均滿足△MNC為鈍角三角形.

解：（1）證明：如圖1，連接AE.

∵OA=AB..∠A0B=∠ABO.

∴AB∥OC，∠ABO=∠BOC.

∴∠AOC=60°，∠A0B=∠BOC=30°，∠0BC=90°

∵E為OC的中點，∴OC=2BC=2OA；△OAE為等邊三角形

∴OB垂直平分線段AE

∴PA=PE.

(2)∵PC+PE= ，∴PC+PA=.

顯然有OB=AC≤PC+PA=

在Rt△BOC中,設AB=OA=BC=x，則OC=2x，OB=，

∴≤，∴≤2.

即AB的最大值為2.

(3) 當AB取最大值時，AB=OA=BC=2，OC=4.

分三種情況討論：

①當N點在OA上時，如圖2，若CN⊥MN時，此時線段OA上N點下方的點（不包括N.O）均滿足△MNC為鈍角三角形.

過N作NF⊥x軸，垂足為F，

∵A點坐標為（1，），∴ 可設N點坐標為（a，a），

則DF=a－m，NF=a，FC=4－a.

∵△OMD∽△FND∽△FCN，

∴ .

解得， ，即當0<m<時，△MNC為鈍角三角形

②當N點在AB上時，不能滿足△MNC為鈍角三角形；

③當N點在BC上時，如圖3，若CN⊥MN時，此時BC上N點下方的點（不包括N.C）均滿足△MNC為鈍角三角形.

∵OB⊥BC, CN⊥MN,. MN//OB.

∴∠ODM=∠BOC=30°

∴ OM=1,. OD=m=.

∴當<m<4時，△MNC為鈍角三角形.

綜上所述，當0<m<或<m<4時，△MNC為鈍角三角形.