Question

【題目】如圖，在中，，，，平分交于點，過點作交于點，點是線段上的動點，連結并延長分別交，于點、.

（1）求的長.

（2）若點是線段的中點，求的值.

（3）請問當的長滿足什么條件時，在線段上恰好只有一點，使得?

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）當或時，滿足條件的點只有一個.

【解析】

（1）由角平分線定義得，在中，根據銳角三角函數正切定義即可求得長.

（2）由題意易求得，，由全等三角形判定得，根據全等三角形性質得，根據相似三角形判定得，由相似三角形性質得，將代入即可求得答案.

（3）由圓周角定理可得是頂角為120°的等腰三角形，再分情況討論：

①當與相切時，結合題意畫出圖形，過點作，并延長與交于點，連結，，設半徑為，由相似三角形的判定和性質即可求得長；

②當經過點時，結合題意畫出圖形，過點作，設半徑為，在中，根據勾股定理求得，再由相似三角形的判定和性質即可求得長；③當經過點時，結合題意畫出圖形，此時點與點重合，且恰好在點處，由此可得長.

（1）解：∵平分，，

∴．

在中，

（2）解：易得，，．

由，得，．

∵，

∴，

∴．

由，得，

∴

∴

（3）解：∵，過，，作外接圓，圓心為，

∴是頂角為120°的等腰三角形.

①當與相切時，如圖1，

過點作，

并延長與交于點，連結，

設的半徑則，，

解得．

∴，．

易知，可得，則

∴．

②當經過點時，如圖2，

過點作，垂足為．

設的半徑，則．

在中，，解得，

∴

易知，可得

③當經過點時，如圖3，

此時點與點重合，

且恰好在點處，可得．

綜上所述，當或時，滿足條件的點只有一個.