Question

【題目】如圖1，已知拋物線y1＝x2+mx與拋物線y2＝ax2+bx+c的形狀相同，開口方向相反，且相交于點A（﹣3，﹣6）和點B（1，6）．拋物線y2與x軸正半軸交于點C，P為拋物線y2上A、B兩點間一動點，過點P作PQ∥y軸，與y1交于點Q．

（1）求拋物線y1與拋物線y2的解析式；

（2）四邊形APBO的面積為S，求S的最大值，并寫出此時點P的坐標；

（3）如圖2，y2的對稱軸為直線l，PC與l交于點E，在（2）的條件下，直線l上是否存在一點T，使得以T、E、C為頂點的三角形與△APQ相似？如果存在，求出點T的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y2＝﹣x2+x+6；（2）當t＝﹣1時，S最大＝16，此時P的坐標為（﹣1，4）；（3）存在點T的坐標或使得T、C、E為頂點的三角形與△PAQ相似．

【解析】

（1）分別利用待定系數法求兩個二次函數的解析式；

（2）設點P橫坐標為t，則P（t，﹣t2+t+6），Q（t，t2+5t），表示PQ的長，根據兩三角形面積和可得S與t的關系式，配方后可得S的最大值；

（3）先確定∠AQB＝135°，所以分情況討論可得結論．

解：（1）將B（1，6）代入y1＝x2+mx得：m＝5，

∴y1＝x2+5x，

∵y2與y1形狀相同，開口相反，

∴a＝﹣1，

∴y2＝﹣x2+bx+c，

將A（﹣3，﹣6）、B（1，6）代入得，

，

解得：b＝1，c＝6，

∴y2＝﹣x2+x+6；

（2）設點P橫坐標為t，

則P（t，﹣t2+t+6），Q（t，t2+5t），

∴PQ＝﹣t2+t+6﹣t2﹣5t＝﹣2t2﹣4t+6，

∴S四邊形APBQ＝

＝﹣4（t+1）2+16；

∴當t＝﹣1時，S最大＝16，此時P的坐標為（﹣1，4）；

（3）存在點T，

由y2＝﹣x2+x+6，得直線l為：x＝，

由（2）知P點的坐標為（﹣1，4），

當x＝﹣1時，y1＝（﹣1）2+5×（﹣1）＝﹣4，

∴Q點的坐標為（﹣1，﹣4），

且A為（﹣3，﹣6），

令﹣x2+x+6＝0得：C為（3，0），

如圖2，設PQ與x軸交于點G，直線l與x軸交于點M，

作AH⊥PQ的延長線，垂足為點H，易知AH＝2，HQ＝﹣4﹣（﹣6）＝2，

∴∠AQH＝45°，

∴∠AQP＝180°﹣45°＝135°，

∵PG＝4，CG＝3+1＝4，

∴∠ECO＝45°，

∴T點在E的上方∠CET＝135°

MC＝3﹣＝，EC＝MC＝．

AQ＝AH＝2，PQ＝8，

存在兩種情況：

①若△PAQ∽△TCE，則，

即TE＝＝10，此時T的坐標為，

②若△PAQ∽△CTE，則，

即TE＝，此時T的坐標為,

綜上可知存在點T的坐標或使得T、C、E為頂點的三角形與△PAQ相似．