Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點P，直線BF與AD的延長線交于點F，且∠AFB=∠ABC．

(1)求證：直線BF是⊙O的切線．

(2)若CD=2，OP=1，求線段BF的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)BF=.

【解析】

（1）欲證明直線BF是⊙O的切線，只要證明AB⊥BF即可．

（2）連接OD，在Rt△ODE中，利用勾股定理求出由△APD∽△ABF，=，由此即可解決問題．

(1)∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC，∴∠AFB=∠ADC，

∴CD∥BF，∴∠AFD=∠ABF，

∵CD⊥AB，∴AB⊥BF，∴直線BF是⊙O的切線．

(2)連接OD，∵CD⊥AB，∴PD=0.5CD=，

∵OP=1，∴OD=2，∵∠PAD=∠BAF，∠APO=∠ABF，∴△APD∽△ABF，

∴=，∴=，∴BF=．