Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（b，0），C（b，-2a）．且+|b-l|=0．CD∥AB，AD∥BC

（1）直接寫(xiě)出B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)：B 、C 、D ；

（2）如圖1，P（3，10），點(diǎn)E，M在四邊形ABCD的邊上，且E在第二象限．若△PEM是以PE為直角邊的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并對(duì)其中一種情況計(jì)算說(shuō)明；

（3）如圖2，F(xiàn)為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F的直線j∥x軸，BH平分∠FBA交直線j于點(diǎn)H．G為BF上的點(diǎn)，且∠HGF=∠FAB，F(xiàn)在運(yùn)動(dòng)中FG的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，求出變化范圍；若不變，求出定值．

Answer 1

【答案】（1）（1，0），（1，8），（-4，8）；（2）點(diǎn)E坐標(biāo)（-1，8）或（-4，7）；（3）不發(fā)生變化.

【解析】

（1）根據(jù)題意可求a=-4，b=1，可得A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可證四邊形ABCD是矩形，可求CD=AB=5，AD=BC=8，即可求點(diǎn)D坐標(biāo)；

（2）分點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)EAD上討論，通過(guò)等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，可求點(diǎn)E坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)H作HR⊥BF于點(diǎn)R，通過(guò)證△HFR≌△FBO和△HRG≌△FOA，可得RF=1，RG=4，即可求FG=3，則點(diǎn)F在運(yùn)動(dòng)中FG的長(zhǎng)度不發(fā)生變化．

（1）∵+|b-l|=0，

∴b=1，a=-4，

∴A（-4，0），B（1，0），C（1，8），

∴BC⊥AB，AB=5，BC=8，

∵CD∥AB，AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，且BC⊥AB

∴四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=8，CD=AB=5

∴D（-4，8）

（2）如圖，若點(diǎn)E在CD上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EN∥y軸，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥EN于N，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥EN于點(diǎn)H，

∵∠PEH+∠HPE=90°，∠PEH+∠MEN=90°，

∴∠MEN=∠HPE，且PE=EM，∠PHE=∠MNE=90°，

∴△PHE≌△ENM（AAS）

∴PH=EN，HE=MN=2，

∵CE⊥EN，MN⊥EN，∠DCB=90°，

∴四邊形MNEC是矩形，

∴CE=MN=2，且點(diǎn)C（1，8）

∴點(diǎn)E坐標(biāo)（-1，8）

如圖，若點(diǎn)E在AD上，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于H，

∵∠PEH+∠AEM=90°，∠PEH+∠HPE=90°

∴∠HPE=∠AEM，且PE=EM，∠PHE=∠EAM=90°

∴△PHE≌△EAM（AAS）

∴AE=PH=7

∴點(diǎn)E坐標(biāo)（-4，7）

（3）不發(fā)生變化，

如圖，過(guò)點(diǎn)H作HR⊥BF于點(diǎn)R，

∵BH平分∠ABF，

∴∠FBH=∠ABH，

∵FH∥AB，

∴∠FHB=∠ABH，∠HFR=∠ABF，

∴∠FHB=∠FBH，

∴HF=FB，且∠HFR=∠ABF，∠FOB=∠HRF，

∴△HFR≌△FBO（AAS）

∴RF=OB=1，HR=FO，

∵∠HGF=∠FAB，HR=FO，∠HRG=∠AOF=90°，

∴△HRG≌△FOA（AAS），

∴RG=AO=4，

∴FG=RG-RF=4-1=3，

∴點(diǎn)F在運(yùn)動(dòng)中FG的長(zhǎng)度不發(fā)生變化．