Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．

（1）請直接寫出點A，C，D的坐標；
（2）如圖（1），在x軸上找一點E，使得△CDE的周長最小，求點E的坐標；
（3）如圖（2），F為直線AC上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得△AFP為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當y=﹣x2﹣2x+3中y=0時，有﹣x2﹣2x+3=0，

解得：x1=﹣3，x2=1，

∵A在B的左側，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

當y=﹣x2﹣2x+3中x=0時，則y=3，

∴C（0，3）．

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴頂點D（﹣1，4）

（2）

解：作點C關于x軸對稱的點C′，連接C′D交x軸于點E，此時△CDE的周長最小，如圖1所示．

∵C（0，3），

∴C′（0，﹣3）．

設直線C′D的解析式為y=kx+b，

則有 ，解得： ，

∴直線C′D的解析式為y=﹣7x﹣3，

當y=﹣7x﹣3中y=0時，x=﹣ ，

∴當△CDE的周長最小，點E的坐標為（﹣ ，0）

（3）

解：設直線AC的解析式為y=ax+c，

則有 ，解得： ，

∴直線AC的解析式為y=x+3．

假設存在，設點F（m，m+3），

△AFP為等腰直角三角形分三種情況（如圖2所示）：

①當∠PAF=90°時，P（m，﹣m﹣3），

∵點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，

∴﹣m﹣3=﹣m2﹣2m+3，

解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，

此時點P的坐標為（2，﹣5）；

②當∠AFP=90°時，P（2m+3，0）

∵點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，

∴0=﹣（2m+3）2﹣2×（2m+3）+3，

解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，

此時點P的坐標為（1，0）；

③當∠APF=90°時，P（m，0），

∵點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，

∴0=﹣m2﹣2m+3，

解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，

此時點P的坐標為（1，0）．

綜上可知：在拋物線上存在點P，使得△AFP為等腰直角三角形，點P的坐標為（2，﹣5）或（1，0）

【解析】（1）令拋物線解析式中y=0，解關于x的一元二次方程即可得出點A、B的坐標，再令拋物線解析式中x=0求出y值即可得出點C坐標，利用配方法將拋物線解析式配方即可找出頂點D的坐標；（2）作點C關于x軸對稱的點C′，連接C′D交x軸于點E，此時△CDE的周長最小，由點C的坐標可找出點C′的坐標，根據點C′、D的坐標利用待定系數法即可求出直線C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出點E的坐標；（3）根據點A、C的坐標利用待定系數法求出直線AC的解析式，假設存在，設點F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三種情況考慮．根據等腰直角三角形的性質結合點A、F點的坐標找出點P的坐標，將其代入拋物線解析式中即可得出關于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入點P坐標中即可得出結論．