Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+2與直線l交于點A、B兩點，且A點為拋物線與y軸的交點，B（﹣2，﹣4），拋物線的對稱軸是直線x=2，過點A作AC⊥AB，交拋物線于點C、x軸于點D．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）拋物線上是否存在點K，使得以AC為邊的平行四邊形ACKL的面積等于△ABC的面積？若存在，請直接寫出點K的橫坐標；若不存在，請說明理由．[提示：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=﹣ ，頂點坐標為（﹣ ， ）]．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵對稱軸為x=2，拋物線經過點B，

∴ ，

∴解得：a=﹣ ，b=2，

∴拋物線的解析式是：y=﹣ x2+2x+2

（2）

解：∵點A在y軸上，令x=0，則y=2，

∴點A坐標（0，2），

作BE⊥y軸于E，

∵AC⊥AB，AO⊥OD，

∴∠AOD=∠DAO，

又∵∠AOD=∠ABE，

∴∠ABE=∠DAO，

∵∠AEB=∠AOD=90°，

∴△ABE∽△DAO，

∴

∵B（﹣2，﹣4），

∴OA=2，AE=6，BE=2，

∴OD=6，

∴點D坐標是（6，0）

（3）

解：答：存在兩個滿足條件的點K，

∵AB=2 ，

∴S△ABC= ABAC=S平行四邊形ACKL，

∴點K到直線AC距離為 AB= ；

①直線KL解析式為y=﹣ x+ ，

則﹣ x+ =﹣ x2+2x+2，

方程無解；

②直線KL解析式為y=﹣ x﹣ ，

則﹣ x﹣ =﹣ x2+2x+2，

解得：x= 或x= ，

∴存在K點，橫坐標為 或

【解析】（1）根據對稱軸為直線x=2和B是拋物線上點即可求得a、b的值，即可解題；（2）易求得點A坐標，作BE⊥x軸于E，易證△ABE∽△DAO，可得 ，即可求得OD的值，即可解題；（3）易求得AB長度，再根據S△ABC= ABAC=S平行四邊形ACKL ， 可得點K到直線AC距離為 AB，易求得直線AC解析式，將直線AC向上或向下平移 單位，求得直線與拋物線交點即可解題．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．