Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，連接DE．過點A作AF⊥DE，垂足為F，⊙O經過點C、D、F，與AD相交于點G．

（1）求證：△AFG∽△DFC；

（2）若正方形ABCD的邊長為4，AE＝1，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）⊙O的半徑為．

【解析】

（1）欲證明△AFG∽△DFC，只要證明∠FAG＝∠FDC，∠AGF＝∠FCD；

（2）首先證明CG是直徑，求出CG即可解決問題；

（1）證明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，

∴∠CDF+∠ADF＝90°，

∵AF⊥DE，

∴∠AFD＝90°，

∴∠DAF+∠ADF＝90°，

∴∠DAF＝∠CDF，

∵四邊形GFCD是⊙O的內接四邊形，

∴∠FCD+∠DGF＝180°，

∵∠FGA+∠DGF＝180°，

∴∠FGA＝∠FCD，

∴△AFG∽△DFC．

（2）解：如圖，連接CG．

∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，

∴△EDA∽△ADF，

∴ ，即，

∵△AFG∽△DFC，

∴ ，

∴，

在正方形ABCD中，DA＝DC，

∴AG＝EA＝1，DG＝DA﹣AG＝4﹣1＝3，

∴CG＝＝5，

∵∠CDG＝90°，

∴CG是⊙O的直徑，

∴⊙O的半徑為．