Question

【題目】如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知AE=c，這時我們把關于x的形如ax+cx+b=0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”.

請解決下列問題：

寫出一個“勾系一元二次方程”；

求證：關于x的“勾系一元二次方程”ax+cx+b=0必有實數根；

若x=1是“勾系一元二次方程”ax+cx+b=0的一個根，且四邊形ACDE的周長是，求△ABC面積.

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】試題分析：（1）直接找一組勾股數代入方程即可；

（2）通過判斷根的判別式△的正負來證明結論；

（3）利用根的意義和勾股定理作為相等關系先求得c的值，根據完全平方公式求得ab的值，從而可求得面積．

試題解析：

（1）解：令a＝3，b＝4則c＝5，寫出一個“勾系一元二次方程”：3x＋5x＋4＝0；

（2）證明：

∵△＝（c）4ab＝2c4ab＝2（a＋b）4ab＝2（a2ab＋b）＝2（ab）≥0，

∴關于x的“勾系一元二次方程”ax＋cx＋b＝0必有實數根；

（3）代入x＝1得ac＋b＝0，∴a＋b＝c．

由四邊形ACDE的周長是得a＋b＋a＋b＋c＝，

∴2（a＋b）＋c＝，2c＋c＝，3c＝，c＝2，a＋b＝2，

∴2ab＝（a＋b）（a＋b）＝（a＋b）（c）＝84＝4，

∴ab＝2，

∴△ABC面積＝ab＝1．