Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，點D、E分別在BC、AC上，且CD=2BD,AE=2CE，BE、AD相交于點F，連接DE，則下列結論：

①∠AFE=60°；②DE⊥AC；③CE2=DFDA；④AFBE=AEAC，正確的結論有（　　）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

本題是開放題，對結論進行一一論證，從而得到答案．①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和，即可證∠AFE=60°；②從CD上截取CM=CE，連接EM，證△CEM是等邊三角形，可證明DE⊥AC；③△BDF∽△ADB，由相似比則可得到CE2=DFDA；④只要證明了△AFE∽△BAE，即可推斷出AFBE=AEAC．

∵△ABC是等邊三角形

∴AB=BC=AC,∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°

∵BD= BC,CE= AC

∴BD=CE.

∴△ABD≌△BCE

∴∠BAD=∠CBE，

∵∠ABE+∠EBD=60°

∴∠ABE+∠CBE=60°

∵∠AFE是△ABF的外角

∴∠AFE=60°

∴①是對的；

如圖，從CD上截取CM=CE，連接EM，則△CEM是等邊三角形

∴EM=CM=EC

∵EC= CD

∴EM=CM=DM

∴∠CED=90°

∴DE⊥AC，

∴②是對的；

由前面的推斷知△BDF∽△ADB

∴BD:AD=DF:DB

∴BD2=DFDA

∴CE2=DFDA

∴③是對的；

在△AFE和△BAE中,∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB是公共角

∴△AFE∽△BAE

∴AFBE=AEAC

∴④是對的；

故答案為：D.