Question

【題目】如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，點E從點D出發，沿DA方向以每秒1個單位的速度向點A運動，點F從點B出發，沿射線AB以每秒3個單位的速度運動，當點E運動到點A時，E、F兩點停止運動．連結BD，過點E作EH⊥BD，垂足為H，連結EF，交BD于點G，交BC于點M，連結CF．

（1）△CDE與△CBF相似嗎？為什么？

（2）求證：∠DBC＝∠EFC；

（3）同線段GH的值是定值嗎？如果不是，請說明理由；如果是，求出這個定值．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析 （2）證明見解析 （3）是定值

【解析】

（1）根據兩邊成比例夾角相等兩三角形相似即可判斷；

（2）想辦法證明△DCB∽△ECF，可得∠DBC＝∠EFC；

（3）結論：線段GH的值是定值．GH＝．由△EDC∽△EHG，可得＝，由AB＝DC，可得＝，想辦法用t表示EH，代入化簡即可解決問題.

（1）∵四邊形ABCD是矩形，AD∥BC，AB＝DC，

∴∠CDA＝∠DCB＝∠DAB＝∠ABC＝90°，

∵＝＝，＝＝，

∴＝，

∵∠CDE＝∠FBC＝90°

∴△CDE∽△CBF；

（2）證明：∵△CDE∽△CBF，

∴∠DCE＝∠BCF，＝，

∵∠DCE+∠BCE＝90°，

∴∠BCE+∠BCF＝90°，

∴∠ECF＝90°，

∴＝，

∵∠DCB＝∠ECF

∴△DCB∽△ECF，

∴∠DBC＝∠EFC．

（3）結論：線段GH的值是定值．GH＝．

理由：作CN⊥DB于N，

∵AD＝BC＝6，AB＝2，

∴BD＝＝2，

∵∠EDH＝∠ADB，∠EHD＝∠DAB，

∴△DEH∽△DBA，

∴，

∴＝，

∴EH＝t，

∵△DCB∽△ECF，

∴∠DBC＝∠EFC，

∴∠CDB＝∠CEF，

∵∠CDB+∠DCN＝90°，∠DCN+∠NCB＝90°，

∴∠BDC＝∠NCB＝∠CEF

∵CN⊥BD，EH⊥DB，

∴CN∥EH，

∴∠NCE＝∠CEH，

∴∠ECB＝∠HEG，

∵AD∥BC，

∴∠DEC＝∠ECB，

∴∠DEC＝∠HEG，

∵∠EDC＝∠EHG＝90°，

∴△EDC∽△EHG，

∴，

∵AB＝DC，

∴，

∴＝，

∴HG＝．