Question

【題目】如圖，將矩形紙片ABCD置于直角坐標系中，點A（4，0），點B（0，3），點D（異于點B、C）為邊BC上動點，過點O、D折疊紙片，得點B′和折痕OD．過點D再次折疊紙片，使點C落在直線DB′上，得點C′和折痕DE，連接OE，設BD=t．

（1）當t=1時，求點E的坐標；
（2）設S四邊形OECB=s，用含t的式子表示s（要求寫出t的取值范圍）；
（3）當OE取最小值時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由折疊的性質可知，∠ODB=∠ODB′，∠EDC=∠EDC′，

∴∠ODE=90°，

∴∠BDO+∠CDE=90°，又∠BDO+∠BOD=90°，

∴∠BOD=∠CDE，

∵BD=t=1，BC=4，

∴CD=3，又OB=3，

∴OB=CD，

在△BOD和△CDE中，

，

∴△BOD≌△CDE，

∴CE=BD=1，

∴AE=AC﹣CE=2，

∴點E的坐標為（4，2）

（2）

解：∵BD=t，

∴DC=BC﹣BD=4﹣t，

由（1）得，∠BOD=∠CDE，又∠B=∠C=90°，

∴△ODB∽△DCE，

∴ ，即 ，

解得，CE= t2+ t，

∴S= ×（CE+OB）×BC= ×（ t2+ t+3）×4，

∴S= t2+ t+6（0＜t＜4）

（3）

解：在Rt△OEA中，OE2=OA2+AE2=42+AE2，

∴當AE最小時，OE最小，

由（2）得，CE= t2+ t，

∴AE=AC﹣CE= t2﹣ t+3= （x﹣2）2+ ，

當t=2時，AE的最小值為 ，

此時點E的坐標為（4， ）

【解析】（1）根據折疊的性質和全等三角形的判定定理證明△BOD≌△CDE，求出CE，計算出AE，得到點E的坐標；（2）根據相似三角形的性質用t表示出CE，根據梯形的面積公式用t表示S；（3）根據二次函數的性質求出AE的最小值，求出點E的坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的性質的相關知識，掌握對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．